Inférence bayésienne

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1
Une usine possède deux machines. La machine A fabrique 60 % des pièces, la machine B fabrique le reste. La machine A produit 3 % de pièces défectueuses, la machine B en produit 5 %. On prélève une pièce au hasard.
a) Calcule la probabilité qu'elle soit défectueuse.
b) Sachant qu'elle est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la machine A ?
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On note A « pièce fabriquée par A », B « pièce fabriquée par B », D « pièce défectueuse ».
Données : P(A) = 0,6 ; P(B) = 0,4 ; $P_{A}$ (D) = 0,03 ; $P_{B}$ (D) = 0,05.

a) Formule des probabilités totales (A et B forment une partition) :
P(D) = P(A) × $P_{A}$ (D) + P(B) × $P_{B}$ (D).
P(D) = 0,6 × 0,03 + 0,4 × 0,05 = 0,018 + 0,02 = 0,038.
Donc P(D) = 0,038, soit 3,8 %.

b) On applique la formule de Bayes :
$P_{D}$ (A) = $\frac{P(A) \times P_A(D)}{P(D)}$ = $\frac{0{,}018}{0{,}038}$ .
Je multiplie numérateur et dénominateur par 1000 : $\frac{18}{38}$ = $\frac{9}{19}$ ≈ 0,474.
Donc $P_{D}$ (A) ≈ 0,474.
Interprétation : même si A fabrique plus de pièces, elle est moins souvent responsable d'un défaut relativement à sa production, mais comme elle produit beaucoup, elle reste à l'origine de presque la moitié des pièces défectueuses.
2
Un test de dépistage a une prévalence P(M) = 0,02, une sensibilité Se = $P_{M}$ (T+) = 0,95 et une spécificité Sp = $P_{M̄}$ (T−) = 0,90.
a) Calcule P(T+).
b) Calcule la VPP, c'est-à-dire $P_{T+}$ (M).
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Données : P(M) = 0,02, donc P(M̄) = 0,98.
Se = $P_{M}$ (T+) = 0,95, donc $P_{M}$ (T−) = 0,05.
Sp = $P_{M̄}$ (T−) = 0,90, donc $P_{M̄}$ (T+) = 1 − 0,90 = 0,10 (proportion de faux positifs).

a) Probabilités totales :
P(T+) = P(M) × $P_{M}$ (T+) + P(M̄) × $P_{M̄}$ (T+).
P(T+) = 0,02 × 0,95 + 0,98 × 0,10 = 0,019 + 0,098 = 0,117.
Donc P(T+) = 0,117.

b) Formule de Bayes :
$P_{T+}$ (M) = $\frac{P(M) \times P_M(T+)}{P(T+)}$ = $\frac{0{,}019}{0{,}117}$ ≈ 0,162.
Donc la VPP ≈ 0,162, soit environ 16 %.
Interprétation importante : malgré un test très performant, comme la maladie est rare (2 %), un test positif ne signifie « malade » que dans 16 % des cas, à cause des nombreux faux positifs dans la grande population de gens sains.
3
On dispose de deux urnes. L'urne 1 contient 3 boules rouges et 2 vertes ; l'urne 2 contient 1 boule rouge et 4 vertes. On choisit une urne au hasard (une chance sur deux), puis on tire une boule.
a) Calcule la probabilité de tirer une boule rouge.
b) Sachant que la boule tirée est rouge, quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'urne 1 ?
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4
On donne P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 et P(A∪B) = 0,7. Calcule P(A∩B), puis détermine si A et B sont indépendants.
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5
Un filtre anti-spam classe les courriels. 40 % des courriels reçus sont des spams. Le mot « gratuit » apparaît dans 70 % des spams et dans 10 % des courriels légitimes.
a) Calcule la probabilité qu'un courriel contienne le mot « gratuit ».
b) Un courriel contient le mot « gratuit ». Quelle est la probabilité que ce soit un spam ?
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6
On donne P(A) = 0,7, $P_{A}$ (B) = 0,2 et P_Ā(B) = 0,5.
a) Calcule P(B).
b) Calcule $P_{B}$ (A).
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7
On donne $P_{A}$ (B) = 0,3, P(A) = 0,6 et P(B) = 0,5.
a) Calcule P(A∩B).
b) Calcule P(A∪B).
c) Les événements A et B sont-ils indépendants ?
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8
Un test a une prévalence P(M) = 0,05, une sensibilité Se = 0,98 et une spécificité Sp = 0,95. Calcule la VPN, c'est-à-dire $P_{T-}$ (M̄), la probabilité d'être sain sachant que le test est négatif.
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9
On lance deux dés équilibrés à six faces. On note A l'événement « la somme des deux dés est égale à 7 » et B l'événement « le premier dé affiche 3 ».
a) Calcule P(A) et P(B).
b) Calcule $P_{B}$ (A).
c) A et B sont-ils indépendants ?
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10
On dispose de deux pièces d'apparence identique : une pièce équilibrée (Pile avec probabilité 0,5) et une pièce truquée qui tombe toujours sur Pile. On choisit une pièce au hasard et on la lance : on obtient Pile.
a) Calcule la probabilité d'obtenir Pile.
b) Quelle est la probabilité que la pièce choisie soit la pièce truquée ?
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