Inférence bayésienne

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1
On donne $P(A) = 0{,}5$ , $P(B) = 0{,}4$ et $P(A\cup B) = 0{,}7$ . Calcule $P(A\cap B)$ , puis détermine si A et B sont indépendants.
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On utilise la formule de la réunion : $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ .
On isole l'inconnue : $P(A\cap B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B)$ .
$P(A\cap B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}7 = 0{,}2$ .
Donc $P(A\cap B) = 0{,}2$ .

Test d'indépendance : on compare avec $P(A) \times P(B) = 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2$ .
On a $P(A\cap B) = 0{,}2$ et $P(A) \times P(B) = 0{,}2$ : les deux valeurs sont égales.
Donc A et B sont indépendants.
Vérification par le conditionnement : $P_A(B) = \frac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4 = P(B)$ . Savoir que A est réalisé ne change rien à la probabilité de B.
2
On donne $P(A) = 0{,}7$ , $P_A(B) = 0{,}2$ et $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}5$ .
a) Calcule P(B).
b) Calcule $P_B(A)$ .
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Données : $P(A) = 0{,}7$ , donc $P(\overline{A}) = 0{,}3$ .

a) Probabilités totales :
$P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$ .
$P(B) = 0{,}7 \times 0{,}2 + 0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}14 + 0{,}15 = 0{,}29$ .
Donc $P(B) = 0{,}29$ .

b) On a besoin de $P(A\cap B)$ : $P(A\cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}14$ .
Formule de Bayes (ou définition) :
$P_B(A) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}14}{0{,}29} \approx 0{,}483$ .
Donc $P_B(A) \approx 0{,}483$ .
Attention à ne pas confondre $P_A(B) = 0{,}2$ et $P_B(A) \approx 0{,}483$ : ce sont bien deux quantités différentes.
3
Un test a une prévalence $P(M) = 0{,}05$ , une sensibilité Se $= 0{,}98$ et une spécificité $Sp = 0{,}95$ . Calcule la VPN, c'est-à-dire $P_{T-}(\overline{M})$ , la probabilité d'être sain sachant que le test est négatif.
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4
On dispose de deux pièces d'apparence identique : une pièce équilibrée (Pile avec probabilité 0,5) et une pièce truquée qui tombe toujours sur Pile. On choisit une pièce au hasard et on la lance : on obtient Pile.
a) Calcule la probabilité d'obtenir Pile.
b) Quelle est la probabilité que la pièce choisie soit la pièce truquée ?
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5
On donne $P_A(B) = 0{,}3$ , $P(A) = 0{,}6$ et $P(B) = 0{,}5$ .
a) Calcule $P(A\cap B)$ .
b) Calcule $P(A\cup B)$ .
c) Les événements A et B sont-ils indépendants ?
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6
On lance deux dés équilibrés à six faces. On note A l'événement « la somme des deux dés est égale à 7 » et B l'événement « le premier dé affiche 3 ».
a) Calcule P(A) et P(B).
b) Calcule $P_B(A)$ .
c) A et B sont-ils indépendants ?
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7
Un test de dépistage a une prévalence $P(M) = 0{,}02$ , une sensibilité Se $= P_M(T+) = 0{,}95$ et une spécificité $Sp = P_{\overline{M}}(T-) = 0{,}90$ .
a) Calcule $P(T+)$ .
b) Calcule la VPP, c'est-à-dire $P_{T+}(M)$ .
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8
Une usine possède deux machines. La machine A fabrique 60 % des pièces, la machine B fabrique le reste. La machine A produit 3 % de pièces défectueuses, la machine B en produit 5 %. On prélève une pièce au hasard.
a) Calcule la probabilité qu'elle soit défectueuse.
b) Sachant qu'elle est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la machine A ?
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9
On dispose de deux urnes. L'urne 1 contient 3 boules rouges et 2 vertes ; l'urne 2 contient 1 boule rouge et 4 vertes. On choisit une urne au hasard (une chance sur deux), puis on tire une boule.
a) Calcule la probabilité de tirer une boule rouge.
b) Sachant que la boule tirée est rouge, quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'urne 1 ?
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10
Un filtre anti-spam classe les courriels. 40 % des courriels reçus sont des spams. Le mot « gratuit » apparaît dans 70 % des spams et dans 10 % des courriels légitimes.
a) Calcule la probabilité qu'un courriel contienne le mot « gratuit ».
b) Un courriel contient le mot « gratuit ». Quelle est la probabilité que ce soit un spam ?
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