Inférence bayésienne

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1
On donne P(A) = 0,4 et P(A∩B) = 0,1. Calcule la probabilité conditionnelle $P_{A}$ (B).
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On utilise la définition de la probabilité conditionnelle : $P_{A}$ (B) = $\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ .
On remplace : $P_{A}$ (B) = $\frac{0{,}1}{0{,}4}$ .
Pour simplifier, je multiplie le numérateur et le dénominateur par 10 : $\frac{0{,}1}{0{,}4}$ = $\frac{1}{4}$ = 0,25.
Donc $P_{A}$ (B) = 0,25.
Vérification du sens : sachant que A est réalisé, il y a 1 chance sur 4 que B le soit aussi. C'est cohérent car l'intersection (0,1) représente bien un quart de A (0,4).
2
Sur un arbre pondéré, on lit P(R) = 0,8 puis, au bout de la branche R, $P_{R}$ (S) = 0,25. Calcule la probabilité du chemin « R puis S », c'est-à-dire P(R∩S).
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Le long d'un chemin d'un arbre pondéré, on MULTIPLIE les probabilités rencontrées.
On a donc P(R∩S) = P(R) × $P_{R}$ (S).
On remplace : P(R∩S) = 0,8 × 0,25.
Calcul : 0,8 × 0,25 = 0,2.
Donc P(R∩S) = 0,2.
Pourquoi cette formule : elle vient de la définition $P_{R}$ (S) = $\frac{P(R\cap S)}{P(R)}$ , que l'on réécrit en multipliant les deux membres par P(R).
3
À un nœud d'un arbre pondéré, deux branches partent vers V et vers son contraire V̄. On sait que $P_{A}$ (V) = 0,18. Combien vaut $P_{A}$ (V̄) ?
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4
On donne P(A) = 0,25, $P_{A}$ (B) = 0,8 et P_Ā(B) = 0,4. Calcule P(B) à l'aide de la formule des probabilités totales.
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5
On donne P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 et P(A∩B) = 0,3. Les événements A et B sont-ils indépendants ?
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6
Pour un test de dépistage, on donne P(M) = 0,1 (prévalence), $P_{M}$ (T+) = 0,9 (sensibilité) et P(T+) = 0,18. Calcule $P_{T+}$ (M) avec la formule de Bayes.
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7
Dans un groupe de 200 personnes, il y a 120 femmes, dont 30 fument, et 80 hommes, dont 20 fument. On choisit une personne au hasard. Sachant que c'est une femme, quelle est la probabilité qu'elle fume ?
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8
Dans une population, on teste 500 personnes réellement malades avec un test de dépistage : 480 obtiennent un résultat positif. Calcule la sensibilité Se = $P_{M}$ (T+) du test.
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9
On sait que P(A∩B) = 0,24 et que $P_{A}$ (B) = 0,6. Retrouve la valeur de P(A).
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10
Deux événements A et B sont incompatibles, avec P(A) = 0,3 et P(B) = 0,4. Calcule P(A∩B), puis dis s'ils sont indépendants.
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