Inférence bayésienne

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1
On donne $P(A) = 0{,}4$ et $P(A\cap B) = 0{,}1$ . Calcule la probabilité conditionnelle $P_A(B)$ .
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On utilise la définition de la probabilité conditionnelle : $P_A(B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ .
On remplace : $P_A(B) = \frac{0{,}1}{0{,}4}$ .
Pour simplifier, je multiplie le numérateur et le dénominateur par 10 : $\frac{0{,}1}{0{,}4} = \frac{1}{4} = 0{,}25$ .
Donc $P_A(B) = 0{,}25$ .
Vérification du sens : sachant que A est réalisé, il y a 1 chance sur 4 que B le soit aussi. C'est cohérent car l'intersection (0,1) représente bien un quart de A (0,4).
2
On donne $P(A) = 0{,}6$ , $P(B) = 0{,}5$ et $P(A\cap B) = 0{,}3$ . Les événements A et B sont-ils indépendants ?
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Deux événements A et B sont indépendants lorsque $P(A\cap B) = P(A) \times P(B)$ .
On calcule le produit $P(A) \times P(B) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}3$ .
On compare avec $P(A\cap B) = 0{,}3$ .
Les deux valeurs sont égales : $0{,}3 = 0{,}3$ .
Donc A et B sont indépendants.
Interprétation : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B (on aurait $P_A(B) = \frac{0{,}3}{0{,}6} = 0{,}5 = P(B)$ ).
3
Sur un arbre pondéré, on lit $P(R) = 0{,}8$ puis, au bout de la branche R, $P_R(S) = 0{,}25$ . Calcule la probabilité du chemin « R puis S », c'est-à-dire $P(R\cap S)$ .
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4
Deux événements A et B sont incompatibles, avec $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}4$ . Calcule $P(A\cap B)$ , puis dis s'ils sont indépendants.
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5
À un nœud d'un arbre pondéré, deux branches partent vers V et vers son contraire V̄. On sait que $P_A(V) = 0{,}18$ . Combien vaut $P_A(\overline{V})$ ?
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6
On sait que $P(A\cap B) = 0{,}24$ et que $P_A(B) = 0{,}6$ . Retrouve la valeur de P(A).
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7
Pour un test de dépistage, on donne $P(M) = 0{,}1$ (prévalence), $P_M(T+) = 0{,}9$ (sensibilité) et $P(T+) = 0{,}18$ . Calcule $P_{T+}(M)$ avec la formule de Bayes.
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8
Dans une population, on teste 500 personnes réellement malades avec un test de dépistage : 480 obtiennent un résultat positif. Calcule la sensibilité Se $= P_M(T+)$ du test.
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9
Dans un groupe de 200 personnes, il y a 120 femmes, dont 30 fument, et 80 hommes, dont 20 fument. On choisit une personne au hasard. Sachant que c'est une femme, quelle est la probabilité qu'elle fume ?
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10
On donne $P(A) = 0{,}25$ , $P_A(B) = 0{,}8$ et $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}4$ . Calcule P(B) à l'aide de la formule des probabilités totales.
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