Inférence bayésienne

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1
Une maladie a une prévalence P(M) = 0,01. Un test a pour sensibilité Se = 0,90 et pour spécificité Sp = 0,80. On suppose qu'un même individu peut passer deux tests dont les résultats sont indépendants sachant son état de santé.
a) Calcule la VPP après un premier test positif.
b) La personne repasse un second test, également positif. Calcule la probabilité qu'elle soit malade sachant les deux résultats positifs.
c) Commente l'intérêt de refaire un test.
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Données : P(M) = 0,01, P(M̄) = 0,99 ; $P_{M}$ (T+) = 0,90 ; $P_{M̄}$ (T+) = 1 − 0,80 = 0,20.

a) Un test positif. Probabilités totales :
P(T+) = 0,01 × 0,90 + 0,99 × 0,20 = 0,009 + 0,198 = 0,207.
Bayes : $P_{T+}$ (M) = $\frac{0{,}009}{0{,}207}$ = $\frac{9}{207}$ = $\frac{1}{23}$ ≈ 0,0435.
Donc après un test positif, la probabilité d'être malade n'est que d'environ 4,3 %.

b) Deux tests positifs, indépendants sachant l'état. On multiplie les probabilités conditionnelles.
Pour un malade : les deux tests positifs ont pour probabilité 0,90 × 0,90 = 0,81.
Pour un sain : 0,20 × 0,20 = 0,04.
Formule de Bayes avec ces deux « chemins » :
$P_{T+T+}$ (M) = $\frac{P(M) \times 0{,}81}{P(M) \times 0{,}81 + P(M̄) \times 0{,}04}$ .
Numérateur : 0,01 × 0,81 = 0,0081.
Dénominateur : 0,0081 + 0,99 × 0,04 = 0,0081 + 0,0396 = 0,0477.
$P_{T+T+}$ (M) = $\frac{0{,}0081}{0{,}0477}$ = $\frac{81}{477}$ = $\frac{9}{53}$ ≈ 0,170.
Donc après deux tests positifs, la probabilité d'être malade passe à environ 17 %.

c) Chaque test positif supplémentaire multiplie la « cote » en faveur de la maladie. On est passé de 4,3 % à 17 % : refaire le test augmente nettement la confiance dans le diagnostic. Toutefois, la maladie étant très rare, même deux tests positifs ne rendent pas le diagnostic certain ; il faudrait un test plus spécifique ou un troisième examen.
2
Une maladie a une prévalence inconnue p. On dispose d'un test de sensibilité Se = 0,95 et de spécificité Sp = 0,90.
a) Exprime la VPP (probabilité d'être malade sachant que le test est positif) en fonction de p.
b) On souhaite que la VPP soit égale à 0,5. Détermine la valeur de p correspondante.
c) Interprète ce résultat.
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Données : $P_{M}$ (T+) = 0,95 ; $P_{M̄}$ (T+) = 1 − 0,90 = 0,10 ; P(M) = p ; P(M̄) = 1 − p.

a) Probabilités totales : P(T+) = 0,95p + 0,10(1 − p).
Formule de Bayes :
VPP(p) = $\frac{0{,}95p}{0{,}95p + 0{,}10(1 - p)}$ .
On peut développer le dénominateur : 0,95p + 0,10 − 0,10p = 0,85p + 0,10.
Donc VPP(p) = $\frac{0{,}95p}{0{,}85p + 0{,}10}$ .

b) On résout $\frac{0{,}95p}{0{,}85p + 0{,}10}$ = 0,5.
On multiplie en croix : 0,95p = 0,5 × (0,85p + 0,10).
0,95p = 0,425p + 0,05.
0,95p − 0,425p = 0,05.
0,525p = 0,05.
p = $\frac{0{,}05}{0{,}525}$ = $\frac{50}{525}$ = $\frac{2}{21}$ ≈ 0,0952.
Donc p ≈ 0,095, soit environ 9,5 %.

c) Vérification : pour p = $\frac{2}{21}$ , on a 0,85p + 0,10 = 0,85 × $\frac{2}{21}$ + 0,10 = $\frac{1{,}7}{21}$ + 0,10 ≈ 0,081 + 0,10 = 0,181, et 0,95p ≈ 0,0905, dont le rapport vaut bien 0,5. Interprétation : il faut déjà une maladie touchant près de 10 % de la population pour qu'un test positif ait une chance sur deux d'être exact. Pour les maladies rares, la VPP reste faible, ce qui illustre le rôle central de la prévalence.
3
Une entreprise reçoit ses pièces de trois fournisseurs A, B, C, qui livrent respectivement 50 %, 30 % et 20 % des pièces. Les taux de pièces défectueuses sont 2 % pour A, 4 % pour B et 5 % pour C. On tire une pièce au hasard.
a) Calcule la probabilité qu'elle soit défectueuse.
b) Sachant qu'elle est défectueuse, calcule les probabilités qu'elle vienne de A, de B, puis de C.
c) Quel fournisseur est le plus probablement à l'origine d'une pièce défectueuse ?
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4
Dans une ville de 100 000 habitants, une maladie touche 0,5 % de la population. Un test a une sensibilité de 0,99 et une spécificité de 0,98.
a) Construis le tableau des effectifs : vrais positifs, faux négatifs, faux positifs, vrais négatifs.
b) Calcule la VPP à partir de ces effectifs.
c) Un journal titre « test fiable à 99 % ». Explique pourquoi ce titre est trompeur.
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5
Un sac contient 5 jetons : 3 gagnants et 2 perdants. On tire successivement deux jetons SANS remise.
a) Calcule la probabilité que le second jeton soit gagnant sachant que le premier l'est.
b) Calcule la probabilité que le second jeton soit gagnant.
c) Calcule la probabilité que le premier jeton soit gagnant sachant que le second l'est, et commente.
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6
Dans un canal de transmission binaire, on émet le bit 0 avec probabilité 0,6 et le bit 1 avec probabilité 0,4. Le canal est bruité : chaque bit est inversé lors de la transmission avec probabilité 0,1 (indépendamment).
a) Calcule la probabilité de recevoir le bit 1.
b) Sachant que l'on reçoit 1, calcule la probabilité que 1 ait été émis.
c) Sachant que l'on reçoit 0, calcule la probabilité que 0 ait été émis.
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7
Pour une maladie de prévalence 10 %, on dispose de deux tests indépendants sachant l'état de santé. Le test A a Se = 0,80 et Sp = 0,70 ; le test B a Se = 0,90 et Sp = 0,85. Une personne obtient deux résultats positifs (A+ et B+).
a) Explique pourquoi l'hypothèse d'indépendance permet de multiplier les probabilités conditionnelles.
b) Calcule la probabilité que la personne soit malade sachant A+ et B+.
c) Compare avec la VPP obtenue avec le seul test A positif.
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8
On sait que P(A) = 0,4, P(B) = 0,3, et que $P_{B}$ (A) = 0,6.
a) Détermine $P_{A}$ (B).
b) Calcule P(A∩B) puis P(A∪B).
c) Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifie.
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9
Dans un jeu en ligne, un joueur est un tricheur (T) avec probabilité 0,05. Un tricheur gagne à coup sûr chaque partie ; un joueur honnête gagne une partie avec probabilité 0,5, les parties étant indépendantes. On observe les résultats d'un même joueur.
a) Calcule la probabilité qu'il soit tricheur sachant qu'il a gagné une partie.
b) Calcule cette probabilité sachant qu'il a gagné trois parties consécutives.
c) Combien de victoires consécutives faut-il observer pour que la probabilité qu'il triche dépasse 0,9 ?
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10
À un QCM, chaque question comporte 4 réponses possibles dont une seule est juste. Un élève connaît la bonne réponse avec probabilité 0,7. S'il la connaît, il répond juste à coup sûr ; sinon, il répond au hasard parmi les 4 propositions.
a) Calcule la probabilité qu'il réponde juste à une question.
b) Sachant qu'il a répondu juste, quelle est la probabilité qu'il connaissait la réponse ?
c) Sachant qu'il a répondu juste, quelle est la probabilité qu'il ait deviné ? Que vaut la probabilité qu'il connaissait la réponse sachant qu'il a répondu faux ?
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