Inférence bayésienne

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1
On sait que $P(A) = 0{,}4$ , $P(B) = 0{,}3$ , et que $P_B(A) = 0{,}6$ .
Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifie.
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a) La formule de Bayes relie $P_B(A)$ et $P_A(B)$ : $P_B(A) = \frac{P_A(B) \times P(A)}{P(B)}$ .
On isole $P_A(B)$ : $P_A(B) = \frac{P_B(A) \times P(B)}{P(A)}$ .
$P_A(B) = \frac{0{,}6 \times 0{,}3}{0{,}4} = \frac{0{,}18}{0{,}4} = 0{,}45$ .
Donc $P_A(B) = 0{,}45$ .

b) $P(A\cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}4 \times 0{,}45 = 0{,}18$ .
(On vérifie avec l'autre chemin : $P(B) \times P_B(A) = 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18$ . Les deux calculs concordent.)
$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = 0{,}4 + 0{,}3 - 0{,}18 = 0{,}52$ .
Donc $P(A\cap B) = 0{,}18$ et $P(A\cup B) = 0{,}52$ .

c) Test d'indépendance : $P(A) \times P(B) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$ .
Or $P(A\cap B) = 0{,}18 \ne 0{,}12$ .
Donc A et B NE sont PAS indépendants. On le voit aussi car $P_A(B) = 0{,}45$ alors que $P(B) = 0{,}3$ : la réalisation de A augmente la probabilité de B.
2
Dans une ville de 100 000 habitants, une maladie touche 0,5 % de la population. Un test a une sensibilité de 0,99 et une spécificité de 0,98.
Un journal titre « test fiable à 99 % ». Explique pourquoi le titre est trompeur.
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a) Nombre de malades : 0,5 % de $100 000 = 500$ . Nombre de sains : $100 000 - 500 = 99 500$ .
Vrais positifs (malades, test +) : $500 \times 0{,}99 = 495$ .
Faux négatifs (malades, test −) : $500 - 495 = 5$ .
Vrais négatifs (sains, test −) : $99 500 \times 0{,}98 = 97 510$ .
Faux positifs (sains, test +) : $99 500 - 97 510 = 1 990$ .

b) Nombre total de tests positifs : $495 + 1 990 = 2 485$ .
$\text{VPP} = \frac{\text{vrais positifs}}{\text{total des positifs}} = \frac{495}{2485} \approx 0{,}199$ .
Donc la $\text{VPP} \approx 0{,}199$ , soit environ 20 %.

c) Le « 99 % » désigne la sensibilité (proportion de malades correctement détectés), pas la probabilité d'être malade quand on est positif. Comme les sains sont très nombreux, même 2 % de faux positifs produisent 1 990 personnes déclarées positives à tort, soit bien plus que les 495 vrais malades. Résultat : parmi les gens dont le test est positif, seuls 20 % sont réellement malades. Le titre confond sensibilité et valeur prédictive positive.
3
Un sac contient 5 jetons : 3 gagnants et 2 perdants. On tire successivement deux jetons SANS remise.
Calcule la probabilité que le premier jeton soit gagnant sachant que le second l'est, et commente.
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4
À un QCM, chaque question comporte 4 réponses possibles dont une seule est juste. Un élève connaît la bonne réponse avec probabilité 0,7. S'il la connaît, il répond juste à coup sûr ; sinon, il répond au hasard parmi les 4 propositions.
Sachant qu'il a répondu juste, quelle est la probabilité qu'il ait deviné ? Que vaut la probabilité qu'il connaissait la réponse sachant qu'il a répondu faux ?
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5
Une entreprise reçoit ses pièces de trois fournisseurs A, B, C, qui livrent respectivement 50 %, 30 % et 20 % des pièces. Les taux de pièces défectueuses sont 2 % pour A, 4 % pour B et 5 % pour C. On tire une pièce au hasard.
Quel fournisseur est le plus probablement à l'origine d'une pièce défectueuse ?
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6
Une maladie a une prévalence inconnue p. On dispose d'un test de sensibilité Se $= 0{,}95$ et de spécificité $Sp = 0{,}90$ .
Pour quelle prévalence p la VPP vaut-elle 0,5 ? Explique la signification concrète du résultat.
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7
Dans un canal de transmission binaire, on émet le bit 0 avec probabilité 0,6 et le bit 1 avec probabilité 0,4. Le canal est bruité : chaque bit est inversé lors de la transmission avec probabilité 0,1 (indépendamment).
Sachant que l'on reçoit 0, calcule la probabilité que 0 ait été émis.
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8
Une maladie a une prévalence $P(M) = 0{,}01$ . Un test a pour sensibilité Se $= 0{,}90$ et pour spécificité $Sp = 0{,}80$ . On suppose qu'un même individu peut passer deux tests dont les résultats sont indépendants sachant son état de santé.
Le second test apporte-t-il beaucoup ? Justifie par les probabilités.
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9
Pour une maladie de prévalence 10 %, on dispose de deux tests indépendants sachant l'état de santé. Le test A a Se $= 0{,}80$ et $Sp = 0{,}70$ ; le test B a Se $= 0{,}90$ et $Sp = 0{,}85$ . Une personne obtient deux résultats positifs (A+ et B+).
Compare avec la VPP obtenue avec le seul test A positif.
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10
Dans un jeu en ligne, un joueur est un tricheur (T) avec probabilité 0,05. Un tricheur gagne à coup sûr chaque partie ; un joueur honnête gagne une partie avec probabilité 0,5, les parties étant indépendantes. On observe les résultats d'un même joueur.
Combien de victoires consécutives faut-il observer pour que la probabilité qu'il triche dépasse 0,9 ?
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