Calcul d'aires et intégrale

🟠 Difficile

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1
En utilisant la linéarité, calcule $\int_{0}^{2} (e^{x} + 3x^{2})\,dx$ .
a) Sépare l'intégrale en deux.
b) Termine le calcul et donne une valeur approchée.
Voir le corrigéoffert
a) $\int_{0}^{2} (e^{x} + 3x^{2})\,dx = \int_{0}^{2} e^{x}\,dx + 3\int_{0}^{2} x^{2}\,dx$ .
La linéarité permet de traiter chaque terme séparément.

b) $\int_{0}^{2} e^{x}\,dx = e^{2} - 1 \approx 6{,}389$ .
$\int_{0}^{2} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}$ , donc le second terme vaut $3 \times \frac{8}{3} = 8$ .
Total : $e^{2} - 1 + 8 = e^{2} + 7 \approx 14{,}389$ .
2
Soit $f(x) = -x^{2} + 6x$ .
a) Détermine les bornes où la courbe coupe l'axe des abscisses.
b) Calcule l'aire du domaine compris entre la courbe et cet axe.
Voir le corrigéoffert
a) $-x^{2} + 6x = x(6 - x) = 0$ donne $x = 0$ ou $x = 6$ .
Entre ces deux valeurs, $f$ est positive.

b) Aire $= \int_{0}^{6} (-x^{2} + 6x)\,dx$ .
Une primitive est $-\frac{x^{3}}{3} + 3x^{2}$ .
En 6 : $-72 + 108 = 36$ . En 0 : 0.
L'aire vaut 36 unités d'aire.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
La vitesse d'un mobile est $v(t) = 6t$ (en m/s) pour $t \in [0 \,;\, 5]$ .
a) Calcule $\int_{0}^{5} v(t)\,dt$ et interprète le résultat.
b) Détermine la vitesse moyenne sur ces 5 secondes.
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4
Soit $f(x) = \frac{1}{x}$ sur $[1 \,;\, 4]$ .
a) Calcule $\int_{1}^{4} f(x)\,dx$ .
b) Détermine la valeur moyenne de $f$ et compare-la à $f(2{,}5)$ .
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5
Soit $f(x) = e^{x}$ sur $[0 \,;\, 3]$ .
a) Calcule $\int_{0}^{3} f(x)\,dx$ .
b) Détermine la valeur moyenne de $f$ sur cet intervalle et compare-la à $f(1{,}5)$ .
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6
Soit $f(x) = 2x + 1$ et $g(x) = x^{2} - 2$ sur $[-1 \,;\, 3]$ .
a) Détermine les abscisses des points d'intersection.
b) Calcule l'aire comprise entre les deux courbes.
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7
On considère $f(x) = x^{2}$ et $g(x) = 3x$ sur $[0 \,;\, 3]$ .
a) Détermine les points d'intersection des deux courbes.
b) Calcule l'aire du domaine compris entre elles.
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8
Soit $f(x) = 3x^{2} - 12$ .
a) Calcule $\int_{0}^{2} f(x)\,dx$ .
b) Calcule $\int_{2}^{3} f(x)\,dx$ et compare les signes.
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9
Soit $f(x) = x^{2} - 7x + 10$ .
a) Calcule $\int_{2}^{5} f(x)\,dx$ .
b) Déduis-en l'aire géométrique entre la courbe et l'axe des abscisses sur $[2 \,;\, 5]$ .
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10
Calcule $\int_{-1}^{2} (4x + 3)\,dx$ .
a) Effectue le calcul par primitive.
b) Retrouve le résultat par une lecture géométrique (aire d'un trapèze).
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