Calcul d'aires et intégrale

🟠 Difficile

📝 Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres corrigés détaillés sont réservés aux abonnés.

S'abonner ✨

1
Soit $f(x) = x^{2} - 7x + 10$ .
a) Calcule $\int_{2}^{5} f(x)\,dx$ .
b) Déduis-en l'aire géométrique entre la courbe et l'axe des abscisses sur $[2 \,;\, 5]$ .
✅ Voir le corrigéoffert
a) Une primitive est $F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{7x^{2}}{2} + 10x$ .
$F(5) = \frac{125}{3} - \frac{175}{2} + 50 = 41{,}67 - 87{,}5 + 50 = 4{,}17$ .
$F(2) = \frac{8}{3} - 14 + 20 = 2{,}67 + 6 = 8{,}67$ .
L'intégrale vaut $4{,}17 - 8{,}67 = -4{,}5$ .

b) Les racines de $f$ sont 2 et 5, et $f$ est négative entre elles.
La courbe est donc entièrement sous l'axe sur $[2 \,;\, 5]$ .
L'aire géométrique est la valeur absolue de l'intégrale : 4,5 unités d'aire.
2
Soit $f(x) = e^{x}$ sur $[0 \,;\, 3]$ .
a) Calcule $\int_{0}^{3} f(x)\,dx$ .
b) Détermine la valeur moyenne de $f$ sur cet intervalle et compare-la à $f(1{,}5)$ .
✅ Voir le corrigéoffert
a) Une primitive de $e^{x}$ est $e^{x}$ .
$\int_{0}^{3} e^{x}\,dx = e^{3} - e^{0} = e^{3} - 1 \approx 20{,}086 - 1 = 19{,}086$ .

b) Valeur moyenne $= \frac{1}{3 - 0} \times 19{,}086 \approx 6{,}36$ .
$f(1{,}5) = e^{1{,}5} \approx 4{,}48$ .
La valeur moyenne dépasse $f(1{,}5)$ : la fonction croît de plus en plus vite,
donc les grandes valeurs de fin d'intervalle pèsent davantage.
3
On considère $f(x) = x^{2}$ et $g(x) = 3x$ sur $[0 \,;\, 3]$ .
a) Détermine les points d'intersection des deux courbes.
b) Calcule l'aire du domaine compris entre elles.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
4
En utilisant la linéarité, calcule $\int_{0}^{2} (e^{x} + 3x^{2})\,dx$ .
a) Sépare l'intégrale en deux.
b) Termine le calcul et donne une valeur approchée.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
5
Soit $f(x) = -x^{2} + 6x$ .
a) Détermine les bornes où la courbe coupe l'axe des abscisses.
b) Calcule l'aire du domaine compris entre la courbe et cet axe.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
6
Soit $f(x) = \frac{1}{x}$ sur $[1 \,;\, 4]$ .
a) Calcule $\int_{1}^{4} f(x)\,dx$ .
b) Détermine la valeur moyenne de $f$ et compare-la à $f(2{,}5)$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
7
Calcule $\int_{-1}^{2} (4x + 3)\,dx$ .
a) Effectue le calcul par primitive.
b) Retrouve le résultat par une lecture géométrique (aire d'un trapèze).
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
8
Soit $f(x) = 3x^{2} - 12$ .
a) Calcule $\int_{0}^{2} f(x)\,dx$ .
b) Calcule $\int_{2}^{3} f(x)\,dx$ et compare les signes.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
9
Soit $f(x) = 2x + 1$ et $g(x) = x^{2} - 2$ sur $[-1 \,;\, 3]$ .
a) Détermine les abscisses des points d'intersection.
b) Calcule l'aire comprise entre les deux courbes.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
10
La vitesse d'un mobile est $v(t) = 6t$ (en m/s) pour $t \in [0 \,;\, 5]$ .
a) Calcule $\int_{0}^{5} v(t)\,dt$ et interprète le résultat.
b) Détermine la vitesse moyenne sur ces 5 secondes.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →

Comment ça s'est passé ?

Retrouve tout dans Mon suivi.

🎯 Et maintenant ?

Niveau ExpertContinue à t'entraîner

Ou au choix

Revoir le coursLa fiche de leçon Fiche interactiveL'atelier à faire en ligne Examen du chapitreTeste-toi, noté /20 Annales du BacSujets d'examen corrigés Chapitre suivant : Répartition des richesses et inégalitésOn continue le programme

← Changer de niveau