Calcul d’aires et intégrale
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On considère la fonction f(x) = x² − 4x + 3.
a) Factorise f(x) et détermine son signe sur [0 ; 4].
b) Calcule l'intégrale (aire algébrique) de f sur [0 ; 4].
c) Déduis-en l'aire géométrique du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses sur [0 ; 4].✅ Voir le corrigéoffert
a) f(x) = x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) (racines 1 et 3). Le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles : f ≥ 0 sur [0 ; 1], f ≤ 0 sur [1 ; 3], f ≥ 0 sur [3 ; 4].
b) Primitive : F(x) = − 2x² + 3x.
F(0) = 0.
F(1) = − 2 + 3 = + 1 = .
F(3) = − 18 + 9 = 9 − 9 = 0.
F(4) = − 32 + 12 = − 20 = − = .
Intégrale sur [0 ; 4] = F(4) − F(0) = .
c) On découpe selon le signe de f :
sur [0 ; 1] : F(1) − F(0) = (positif).
sur [1 ; 3] : F(3) − F(1) = 0 − = − (négatif, on prend ).
sur [3 ; 4] : F(4) − F(3) = − 0 = (positif).
Aire = + + = = 4 u.a.
Vérification : l'aire géométrique 4 est supérieure à l'aire algébrique ≈ 1,33, ce qui est logique car une portion négative a été comptée positivement. - 2
L'eau d'une rivière s'écoule avec un débit v(t) = 5·e^(0,2t) (en m³ par heure) à l'instant t (en heures), pour t entre 0 et 5.
a) Détermine une primitive de v.
b) Calcule le volume total V écoulé entre t = 0 et t = 5.
c) Calcule le débit moyen sur [0 ; 5].✅ Voir le corrigéoffert
a) v(t) = 5·e^(0,2t) est de la forme 5·e^(at) avec a = 0,2. Une primitive de e^(at) est ·e^(at), donc une primitive de v est 5×·e^(0,2t) = 25·e^(0,2t).
Vérification : la dérivée de 25·e^(0,2t) est 25×0,2·e^(0,2t) = 5·e^(0,2t) = v(t). ✓
b) V = 25·e^(0,2×5) − 25·e^(0,2×0) = 25·e¹ − 25·e⁰ = 25e − 25 = 25(e − 1) ≈ 25×1,718 ≈ 42,96 m³.
c) Débit moyen = × V = × 25(e − 1) = 5(e − 1) ≈ 8,59 m³ par heure.
Vérification : v est croissante, comprise entre v(0) = 5 et v(5) = 5e ≈ 13,6 ; la moyenne 8,59 est bien entre ces deux valeurs. ✓ - 3
On considère f(x) = x² et g(x) = 2x + 3.
a) Détermine les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
b) Sur l'intervalle trouvé, précise quelle courbe est au-dessus de l'autre.
c) Calcule l'aire du domaine compris entre les deux courbes.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
On pose I = intégrale de sur [1 ; 3].
a) Montre que pour tout x de [1 ; 3] : ≤ ≤ 1.
b) Déduis-en un encadrement de I.
c) Calcule la valeur exacte de I et vérifie l'encadrement.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
Pour tout entier n ≥ 0, on pose Aₙ = intégrale de xⁿ sur [0 ; 1].
a) Calcule A₀, A₁ et A₂.
b) Montre que pour tout entier n ≥ 0 : Aₙ = .
c) Étudie le sens de variation de la suite (Aₙ) et détermine sa limite.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang est c(t) = 3·e^(−0,5t) (en mg par litre) à l'instant t (en heures), pour t entre 0 et 4.
a) Détermine une primitive de c.
b) Calcule l'aire A sous la courbe de c sur [0 ; 4] (l'exposition totale de l'organisme).
c) Calcule la concentration moyenne sur [0 ; 4].🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
On considère les fonctions f(x) = x² et g(x) = x³.
a) Montre que pour tout x de [0 ; 1] : x³ ≤ x².
b) Déduis-en, sans calcul d'intégrale, laquelle des deux intégrales sur [0 ; 1] est la plus grande.
c) Calcule les deux intégrales, puis l'aire du domaine compris entre les deux courbes sur [0 ; 1].🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
On considère la fonction f(x) = x² et un réel a > 0.
a) Exprime, en fonction de a, la valeur moyenne μ(a) de f sur l'intervalle [0 ; a].
b) Résous l'équation μ(a) = 3.
c) Vérifie ton résultat par un calcul direct.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
On considère la fonction f(x) = 4 − x².
a) Détermine les racines de f et son signe.
b) Calcule l'aire du domaine compris entre la courbe de f et l'axe des abscisses sur l'intervalle délimité par les racines.
c) Calcule la valeur moyenne de f sur ce même intervalle.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
Une culture de bactéries évolue. Le taux de croissance de la population (en milliers d'individus par heure) à l'instant t (en heures) est r(t) = 4t pour 0 ≤ t ≤ 3, puis r(t) = 12 pour 3 ≤ t ≤ 6.
a) Calcule l'augmentation de la population sur [0 ; 3].
b) Calcule l'augmentation de la population sur [3 ; 6].
c) À l'aide de la relation de Chasles, déduis-en l'augmentation totale sur [0 ; 6].🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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