Calcul d'aires et intégrale

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1
On considère la fonction $f(x) = x^{2}$ et un réel $a > 0$ .
Résous l'équation $\mu (a) = 3$ .
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a) $\mu (a) = \frac{1}{(a-0)}$ × (intégrale de $x^{2}$ sur [0 ; a]) $= \frac{1}{a} \times [\frac{x^{3}}{3}]$ de 0 à $a = \frac{1}{a} \times \frac{a^{3}}{3} = \frac{a^{2}}{3}$ .
b) $\mu (a) = 3$ donne $\frac{a^{2}}{3} = 3$ , soit $a^{2} = 9$ , soit $a = 3$ (on garde la solution positive car $a > 0$ ; on écarte $a = -3$ ).
c) Vérification : sur $[0 \,;\, 3]$ , intégrale de $x^{2} = \frac{3^{3}}{3} = \frac{27}{3} = 9$ , et $\mu = \frac{1}{3} \times 9 = 3$ .
2
On pose I = intégrale de $\frac{1}{x}$ sur $[1 \,;\, 3]$ .
Calcule la valeur exacte de I et vérifie l'encadrement.
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a) Sur [1 ; 3], on a 1 ≤ x ≤ 3. La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[, donc en inversant les inégalités : $\frac{1}{3}$ ≤ $\frac{1}{x}$ ≤ $\frac{1}{1}$ = 1.
b) On intègre l'encadrement sur [1 ; 3] (de longueur 3 − 1 = 2) grâce à la propriété d'ordre :
intégrale de $\frac{1}{3}$ ≤ I ≤ intégrale de 1, soit $\frac{1}{3}$ ×2 ≤ I ≤ 1×2, donc $\frac{2}{3}$ ≤ I ≤ 2.
c) Une primitive de $\frac{1}{x}$ est ln(x). I = ln(3) − ln(1) = ln(3) ≈ 1,099.
Vérification : $\frac{2}{3}$ ≈ 0,67 ≤ 1,099 ≤ 2. ✓ L'encadrement est respecté.
3
L'eau d'une rivière s'écoule avec un débit $v(t) = 5\cdot e^{0{,}2t}$ (en $m^{3}$ par heure) à l'instant t (en heures), pour t entre 0 et 5.
Calcule le débit moyen sur $[0 \,;\, 5]$ .
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4
On considère $f(x) = x^{2}$ et $g(x) = 2x + 3$ .
Calcule l'aire du domaine compris entre les deux courbes.
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5
On considère les fonctions $f(x) = x^{2}$ et $g(x) = x^{3}$ .
Calcule les deux intégrales, puis l'aire du domaine compris entre les deux courbes sur $[0 \,;\, 1]$ .
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6
Pour tout entier $n \ge 0$ , on pose $A_n$ = intégrale de xⁿ sur $[0 \,;\, 1]$ .
Étudie le sens de variation de la suite ( $A_n$ ) et détermine sa limite.
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7
Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang est $c(t) = 3\cdot e^{-0{,}5t}$ (en mg par litre) à l'instant t (en heures), pour t entre 0 et 4.
Calcule la concentration moyenne sur $[0 \,;\, 4]$ .
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8
On considère la fonction $f(x) = 4 - x^{2}$ .
Calcule la valeur moyenne de f sur l'intervalle délimité par les racines.
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9
Une culture de bactéries évolue. Le taux de croissance de la population (en milliers d'individus par heure) à l'instant t (en heures) est $r(t) = 4t$ pour $0 \le t \le 3$ , puis $r(t) = 12$ pour $3 \le t \le 6$ .
Calcule l'augmentation totale de la population sur $[0 \,;\, 6]$ .
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10
On considère la fonction $f(x) = x^{2} - 4x + 3$ .
Calcule l'aire géométrique du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses sur $[0 \,;\, 4]$ .
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