Calcul d’aires et intégrale
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Calcule l'intégrale de la fonction f(x) = x² − 5x + 6 sur l'intervalle [2 ; 3].
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Étape 1 — Une primitive est F(x) = − + 6x.
Étape 2 — F(3) = − + 18 = 9 − + 18 = 27 − 22,5 = .
F(2) = − + 12 = − 10 + 12 = + 2 = .
Étape 3 — Intégrale = F(3) − F(2) = − = − = −.
Remarque : le résultat est négatif car f(x) = (x − 2)(x − 3) est négative entre ses racines 2 et 3 ; c'est une aire algébrique. - 2
Calcule l'aire géométrique (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe de f(x) = x² − 9 et l'axe des abscisses sur [0 ; 3].
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Étape 1 — Signe : sur [0 ; 3], x² ≤ 9 donc f(x) = x² − 9 ≤ 0. La courbe est sous l'axe.
Étape 2 — L'aire géométrique vaut la valeur absolue de l'intégrale.
Une primitive : F(x) = − 9x. F(3) = − 27 = 9 − 27 = −18 ; F(0) = 0.
Intégrale = −18.
Étape 3 — Aire = |−18| = 18 u.a. - 3
Détermine la valeur moyenne de la fonction f(x) = eˣ sur l'intervalle [0 ; 2].
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Calcule l'aire du domaine compris entre les courbes de g(x) = 2x et f(x) = x² sur l'intervalle [0 ; 2].
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En utilisant la linéarité, calcule l'intégrale de la fonction f(x) = eˣ + 2x sur l'intervalle [0 ; 1].
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Détermine la valeur moyenne de la fonction f(x) = e⁻ˣ sur l'intervalle [0 ; 1].
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En utilisant la linéarité, calcule l'intégrale de la fonction f(x) = 4x³ − 6x sur l'intervalle [1 ; 2].
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Calcule l'aire du domaine compris entre les courbes de f(x) = x² + 1 et g(x) = −x² + 3.
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Un réservoir se remplit. Le débit d'arrivée d'eau à l'instant t (en minutes) est d(t) = 2t + 1 (en litres par minute), pour t entre 0 et 10. Le volume d'eau reçu est l'intégrale de d sur [0 ; 10]. Calcule ce volume.
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Détermine la valeur moyenne de la fonction f(x) = x² sur l'intervalle [1 ; 4].
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