Calcul d'aires et intégrale

🟡 Moyen

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1
Détermine la valeur moyenne de la fonction $f(x) = e^{-x}$ sur l'intervalle $[0 \,;\, 1]$ .
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Étape 1 — $f(x) = e^{ax}$ avec $a = -1$ ; une primitive est $\frac{1}{(-1)}\cdot e^{-x} = -e^{-x}$ .
Étape 2 — Intégrale sur $[0 \,;\, 1] = [-e^{-x}]$ de 0 à $1 = -e^{-1} - (-e^{0}) = -\frac{1}{e} + 1 = 1 - \frac{1}{e}$ .
Étape 3 — La longueur de l'intervalle est 1, donc $\mu = \frac{1}{1} \times (1 - \frac{1}{e}) = 1 - \frac{1}{e} \approx 0{,}632$ .
2
Détermine la valeur moyenne de la fonction $f(x) = e^{x}$ sur l'intervalle $[0 \,;\, 2]$ .
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Étape 1 — $\mu = \frac{1}{(2-0)}$ × (intégrale de eˣ sur [0 ; 2]) $= \frac{1}{2} \times (\text{intégrale})$ .
Étape 2 — Une primitive de eˣ est eˣ. Intégrale $= e^{2} - e^{0} = e^{2} - 1$ .
Étape 3 — $\mu = \frac{1}{2}(e^{2} - 1) \approx \frac{1}{2}\times 6{,}389 \approx 3{,}19$ .
3
Détermine la valeur moyenne de la fonction $f(x) = x^{2}$ sur l'intervalle $[1 \,;\, 4]$ .
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4
Calcule l'aire du domaine compris entre les courbes de $g(x) = 2x$ et $f(x) = x^{2}$ sur l'intervalle $[0 \,;\, 2]$ .
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5
Un réservoir se remplit. Le débit d'arrivée d'eau à l'instant t (en minutes) est $d(t) = 2t + 1$ (en litres par minute), pour t entre 0 et 10. Le volume d'eau reçu est l'intégrale de d sur $[0 \,;\, 10]$ . Calcule ce volume.
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6
Calcule l'intégrale de la fonction $f(x) = x^{2} - 5x + 6$ sur l'intervalle $[2 \,;\, 3]$ .
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7
Calcule l'aire géométrique (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe de $f(x) = x^{2} - 9$ et l'axe des abscisses sur $[0 \,;\, 3]$ .
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8
Calcule l'aire du domaine compris entre les courbes de $f(x) = x^{2} + 1$ et $g(x) = -x^{2} + 3$ .
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9
En utilisant la linéarité, calcule l'intégrale de la fonction $f(x) = 4x^{3} - 6x$ sur l'intervalle $[1 \,;\, 2]$ .
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10
En utilisant la linéarité, calcule l'intégrale de la fonction $f(x) = e^{x} + 2x$ sur l'intervalle $[0 \,;\, 1]$ .
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