La fonction logarithme

Soit $f(x) = e^{x} - x$ sur $\mathbb{R}$.
a) Calcule $f'(x)$ et étudie son signe.
b) Déduis-en que $e^{x} > x$ pour tout réel $x$.

Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x - 3} \le 5$.
a) Donne l'ensemble des solutions.
b) Résous ensuite $e^{2x - 3} > 1$.

Soit $f(x) = x - 2\ln x$ sur $]0 \,;\, +\infty[$.
a) Calcule $f'(x)$ et étudie son signe.
b) Dresse le tableau de variations et donne le minimum de $f$.

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{3x} = 20$.
a) Donne la valeur exacte, puis une valeur approchée au millième.
b) Résous ensuite l'inéquation $e^{3x} \le 20$.

Résous dans $]0 \,;\, +\infty[$ l'inéquation $\ln(2x) \ge 1$.
a) Donne l'ensemble des solutions.
b) Résous ensuite $\ln(2x) < \ln(x + 3)$.

La quantité d'un médicament dans le sang suit $Q(t) = 60\,e^{-0{,}25t}$ (en mg, $t$ en heures).
a) Au bout de combien d'heures reste-t-il 15 mg ?
b) Quelle est la demi-vie du médicament ?

Résous dans $]0 \,;\, +\infty[$ l'équation $\ln x + \ln(x + 8) = \ln 20$.
a) Transforme l'équation et donne la condition d'existence.
b) Résous et conclus.

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x} - 7e^{x} + 10 = 0$.
a) Pose $X = e^{x}$ et résous.
b) Donne les solutions en $x$ et leurs valeurs approchées.

Une population de bactéries suit $N(t) = 500\,e^{0{,}2t}$, où $t$ est en heures.
a) Au bout de combien d'heures la population atteint-elle 2 000 ?
b) Quel est le temps de doublement ?

Un capital de 5 000 € est placé au taux de 3 % par an : au bout de $n$ années il vaut $C(n) = 5\,000 \times 1{,}03^{n}$.
a) Écris l'inéquation traduisant « le capital a au moins triplé ».
b) Résous-la et conclus.