La fonction logarithme

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1
Soit $g(x) = x - 1 - \ln x$ définie sur $]0 \,;\, +\infty [$ .
Montrer que, pour tout $x > 0$ , $\ln x \le x - 1$ , et préciser le cas d'égalité.
Voir le corrigéoffert
a) $g'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ . Pour $x > 0$ , g'(x) a le signe de $x - 1$ .
$g'(x) < 0$ sur $]0 \,;\, 1[$ et $g'(x) > 0$ sur $]1 \,;\, +\infty [$ : g décroît sur $]0 \,;\, 1]$ puis croît sur $[1 \,;\, +\infty [$ .
b) Le minimum est atteint en $x = 1$ : $g(1) = 1 - 1 - \ln 1 = 0$ .
c) Pour tout $x > 0$ , $g(x) \ge g(1) = 0$ , c'est-à-dire $x - 1 - \ln x \ge 0$ , donc $\ln x \le x - 1$ .
L'égalité a lieu uniquement lorsque $g(x) = 0$ , c'est-à-dire en $x = 1$ (le minimum n'est atteint qu'en ce point).
2
On considère l'équation (E) : (ln x)² − ln(x²) − 3 = 0 sur ]0 ; +∞[.
Résous l'inéquation (ln x)² − 2 ln x − 3 ≤ 0.
Voir le corrigéoffert
a) Pour $x > 0$ , $\ln (x^{2}) = 2 \ln x$ . En remplaçant, (E) devient $(\ln x)^{2} - 2 \ln x - 3 = 0$ .
b) On pose $X = \ln x$ : $X^{2} - 2X - 3 = 0$ . $\Delta = 4 + 12 = 16$ , $\sqrt{\Delta} = 4$ . Racines : $X = \frac{2 + 4}{2} = 3$ et $X = \frac{2 - 4}{2} = -1$ .
Si $\ln x = 3$ alors $x = e^{3}$ ; si $\ln x = -1$ alors $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ . $S = \{ \frac{1}{e} \,;\, e^{3} \}$ .
c) Le trinôme $X^{2} - 2X - 3$ est négatif ou nul entre ses racines : $-1 \le X \le 3$ , soit $-1 \le \ln x \le 3$ .
Car ln est croissante : $e^{-1} \le x \le e^{3}$ . $S = [ \frac{1}{e} \,;\, e^{3} ]$ .
Vérification en $x = e$ : $(1)^{2} - 2 \times 1 - 3 = -4 \le 0$ .
3
Soit $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ définie sur $]0 \,;\, +\infty [$ .
Montrer que, pour tout $x > 0$ , $\ln x \le \frac{x}{e}$ .
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4
Le pH d'une solution est $pH = -\log ([H_{3}O^{+}])$ , $[H_{3}O^{+}]$ en mol/L.
Deux solutions ont des pH qui diffèrent de 1 unité. Compare leurs concentrations en ions $H_{3}O^{+}$ .
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5
Le niveau sonore est $L = 10 \log (\frac{I}{I_{0}})$ en décibels, avec $I_{0} = 10^{-12} W/m^{2}$ .
Un concert atteint 110 dB. Détermine l'intensité I correspondante.
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6
Le bénéfice (en milliers d'euros) d'une entreprise pour x centaines d'objets vendus est $B(x) = 10 \ln (x + 1) - x$ , sur $[0 \,;\, +\infty [$ .
Calcule la limite de B en $+\infty$ , et dis ce qu'elle signifie pour l'entreprise.
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7
Soit $f(x) = \ln x - x + 2$ définie sur $]0 \,;\, +\infty [$ .
Démontre que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions sur $]0 \,;\, +\infty [$ .
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8
Une culture de bactéries compte $N(t) = 500 e^{0{,}15t}$ individus, t en heures.
Au bout de combien d'heures la population dépasse-t-elle 10 000 bactéries ?
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9
La masse d'un échantillon radioactif est $m(t) = m_{0} e^{-\lambda t}$ (t en années, $\lambda > 0$ ). Sa demi-vie (durée au bout de laquelle la masse est divisée par 2) est de 5730 ans.
Un fossile ne contient plus que 30 % de sa masse initiale. Estime son âge.
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10
Deux placements sont proposés : $A(n) = 2000 \times 1{,}05^n$ euros et $B(n) = 3000 \times 1{,}03^n$ euros, après n années.
Calcule le temps de doublement de chaque placement.
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