La fonction logarithme

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1
Soit f(x) = ln x − x + 2 définie sur ]0 ; +∞[.
a) Détermine les limites de f en 0⁺ et en +∞.
b) Calcule f'(x), étudie son signe et dresse le tableau de variations.
c) Démontre que l'équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions sur ]0 ; +∞[.
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a) En 0⁺ : ln x → −∞ et (−x + 2) → 2, donc f(x) → −∞.
En +∞ : on factorise f(x) = x( $\frac{ln x}{x}$ − 1 + $\frac{2}{x}$ ) ; par croissance comparée $\frac{ln x}{x}$ → 0 et $\frac{2}{x}$ → 0, donc la parenthèse tend vers −1 et x → +∞, d'où f(x) → −∞.
b) f'(x) = $\frac{1}{x}$ − 1 = $\frac{1 - x}{x}$ . Pour x > 0, f'(x) a le signe de 1 − x.
f'(x) > 0 sur ]0 ; 1[, f'(1) = 0, f'(x) < 0 sur ]1 ; +∞[.
Donc f croît sur ]0 ; 1] puis décroît sur [1 ; +∞[. Maximum en x = 1 : f(1) = ln 1 − 1 + 2 = 1.
c) Sur ]0 ; 1], f est continue et strictement croissante, de −∞ à f(1) = 1. Comme 0 ∈ ]−∞ ; 1], le théorème des valeurs intermédiaires (avec stricte monotonie) donne une unique solution α ∈ ]0 ; 1[.
Sur $\begin{pmatrix} 1 \\ +\infty [, & f & est & continue & et & strictement & décroissante, & de & 1 & à & -\infty . & Comme & 0 & \in \end{pmatrix}$ −∞ ; 1[, il existe une unique solution β ∈ ]1 ; +∞[.
Conclusion : f(x) = 0 admet exactement deux solutions.
Vérification : f(1) = 1 > 0 alors que f(0,1) ≈ −2,30 + 1,9 = −0,40 < 0, ce qui confirme α entre 0,1 et 1. ✓
2
Une culture de bactéries compte N(t) = 500 e^(0,15 t) individus, t en heures.
a) Calcule N(0) et interprète.
b) Détermine le temps de doublement (arrondi à 0,1 h).
c) Au bout de combien d'heures la population dépasse-t-elle 10 000 bactéries ?
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a) N(0) = 500 e⁰ = 500 : c'est la population initiale (à l'instant t = 0).
b) On cherche t tel que N(t) = 2 × 500 = 1000 : 500 e^(0,15 t) = 1000 ⇔ e^(0,15 t) = 2 ⇔ 0,15 t = ln 2.
Donc t = $\frac{ln 2}{0{,}15}$ ≈ $\frac{0{,}693}{0{,}15}$ ≈ 4,6 h.
c) N(t) > 10 000 ⇔ 500 e^(0,15 t) > 10 000 ⇔ e^(0,15 t) > 20 ⇔ 0,15 t > ln 20.
Or ln 20 = ln(4 × 5) = 2 ln 2 + ln 5 ≈ 1,386 + 1,609 = 2,996. Donc t > $\frac{2{,}996}{0{,}15}$ ≈ 19,97.
La population dépasse 10 000 à partir d'environ 20 h.
Vérification : N(20) = 500 e³ ≈ 500 × 20,09 = 10 045 > 10 000. ✓
3
Le niveau sonore est L = 10 log( $\frac{I}{I_{0}}$ ) en décibels, avec I₀ = 10⁻¹² W/m².
a) Une conversation a une intensité I = 10⁻⁶ W/m². Calcule L.
b) Montre que doubler l'intensité augmente L d'environ 3 dB, quelle que soit I.
c) Un concert atteint 110 dB. Détermine l'intensité I correspondante.
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4
Soit f(x) = $\frac{ln x}{x}$ définie sur ]0 ; +∞[.
a) Détermine les limites de f en 0⁺ et en +∞.
b) Calcule f'(x) et dresse le tableau de variations.
c) En déduire que, pour tout x > 0, ln x ≤ $\frac{x}{e}$ .
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5
On considère l'équation (E) : (ln x)² − ln(x²) − 3 = 0 sur ]0 ; +∞[.
a) Montre que (E) s'écrit (ln x)² − 2 ln x − 3 = 0.
b) Résous (E).
c) Résous l'inéquation (ln x)² − 2 ln x − 3 ≤ 0.
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6
Soit g(x) = x − 1 − ln x définie sur ]0 ; +∞[.
a) Calcule g'(x) et étudie les variations de g.
b) Détermine le minimum de g.
c) En déduire que, pour tout x > 0, ln x ≤ x − 1, et précise le cas d'égalité.
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7
La masse d'un échantillon radioactif est m(t) = m₀ e^(−λt) (t en années, λ > 0). Sa demi-vie (durée au bout de laquelle la masse est divisée par 2) est de 5730 ans.
a) Détermine λ (valeur exacte puis approchée).
b) Quel pourcentage de la masse initiale reste-t-il après 2000 ans ?
c) Un fossile ne contient plus que 30 % de sa masse initiale. Estime son âge.
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8
Le bénéfice (en milliers d'euros) d'une entreprise pour x centaines d'objets vendus est B(x) = 10 ln(x + 1) − x, sur [0 ; +∞[.
a) Calcule B'(x) et étudie son signe.
b) Dresse le tableau de variations et détermine la production qui maximise le bénéfice, ainsi que le bénéfice maximal (arrondi au millier d'euros).
c) Calcule la limite de B en +∞ et interprète.
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9
Deux placements sont proposés : A(n) = 2000 × 1,0 $5^{n}$ euros et B(n) = 3000 × 1,0 $3^{n}$ euros, après n années.
a) À partir de quelle année le placement A dépasse-t-il le placement B ?
b) Calcule le temps de doublement de chaque placement.
c) Vérifie ta réponse du a) en comparant A et B pour n = 21 et n = 22.
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10
Le pH d'une solution est pH = −log([H₃O⁺]), [H₃O⁺] en mol/L.
a) Le sang a un pH de 7,4. Détermine [H₃O⁺] (sous la forme $10^{k}$ puis en valeur approchée).
b) Un jus de citron a [H₃O⁺] = 2 × 10⁻³ mol/L. Calcule son pH.
c) Deux solutions ont des pH qui diffèrent de 1 unité. Compare leurs concentrations en ions H₃O⁺.
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