La fonction logarithme
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Calcule sans calculatrice : a) ln(e⁵) b) e^(ln 8) c) ln 1 d) ln e.
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a) ln et exp sont réciproques : pour tout réel x, ln() = x. Donc ln(e⁵) = 5.
b) De même, pour x > 0, e^(ln x) = x. Donc e^(ln 8) = 8.
c) Par définition ln 1 = 0 (car e⁰ = 1).
d) ln e = 1 (car e¹ = e). - 2
Résous dans ℝ l'équation = 15.
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La fonction exp ne prend que des valeurs strictement positives, et 15 > 0 : il y a donc une solution.
On applique ln aux deux membres : = 15 ⇔ x = ln 15.
Valeur approchée : x ≈ 2,71.
Vérification : e^(2,71) ≈ 15. ✓ - 3
On donne ln 2 ≈ 0,693 et ln 5 ≈ 1,609. Donne une valeur approchée de : a) ln 10 b) ln 25 c) ln().
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Simplifie : a) ln(e²) + ln(e⁶) b) ln(e³) − ln e c) 5 ln e.
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Résous dans ]0 ; +∞[ l'équation ln x = 3.
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Soit f(x) = 4x + ln x définie sur ]0 ; +∞[. Calcule f'(x), puis précise le sens de variation de f.
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a) Rappelle le signe de ln x selon la valeur de x > 0. b) En déduire, sans calculatrice, le signe de ln 0,5 et de ln 4.
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Exprime en fonction de ln 2 et ln 3 : a) ln 12 b) ln 18 c) ln().
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Résous dans ]0 ; +∞[ l'inéquation ln x ≥ 1.
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Résous dans ℝ l'équation 3 = 21.
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