La fonction logarithme
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Résous dans ℝ l'équation e^(2x) = 5.
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5 > 0, l'équation a une solution. On applique ln : 2x = ln 5.
Donc x = ≈ ≈ 0,805.
Vérification : e^(2 × 0,805) = e^(1,61) ≈ 5. ✓ - 2
Résous dans ]0 ; +∞[ l'équation ln x + ln(x + 3) = ln 10.
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Condition d'existence : x > 0 (alors x + 3 > 0 aussi).
On regroupe : ln(x(x + 3)) = ln 10, d'où x(x + 3) = 10, soit x² + 3x − 10 = 0.
Δ = 9 + 40 = 49, √Δ = 7. Racines : x = = 2 et x = = −5.
−5 est exclu (car x > 0). Il reste x = 2.
Vérification : ln 2 + ln 5 = ln 10 (car 2 × 5 = 10). ✓ - 3
Résous dans ℝ l'inéquation e^(3x − 1) ≤ 4.
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Un capital de 1000 € est placé au taux de 4 % par an : au bout de n années il vaut C(n) = 1000 × 1,0. Au bout de combien d'années le capital a-t-il au moins doublé ?
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Soit f(x) = x − ln x sur ]0 ; +∞[. a) Calcule f'(x). b) Étudie son signe et dresse le tableau de variations.
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Résous dans ℝ l'équation ln(2x − 1) = ln(x + 4).
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Le pH d'une solution vaut pH = −log([H₃O⁺]), où [H₃O⁺] est en mol/L. Une solution a [H₃O⁺] = 2,5 × 10⁻⁴ mol/L. Calcule son pH (arrondi à 0,01).
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Résous dans ]0 ; +∞[ l'équation (ln x)² − 3 ln x + 2 = 0.
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Résous dans ℝ l'inéquation ln(x − 2) < 1.
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Soit g(x) = x ln x − x définie sur ]0 ; +∞[. Calcule g'(x) et simplifie le résultat.
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