Modèles d'évolution

🟠 Difficile

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1
Un capital placé au taux annuel $t$ double en 15 ans.
a) Détermine $t$ .
b) En combien d'années serait-il multiplié par 5 ?
Voir le corrigéoffert
a) $(1 + t)^{15} = 2$ , donc $1 + t = 2^{1/15}$ .
$2^{1/15} \approx 1{,}04729$ , soit un taux d'environ 4,73 %.
Contrôle : $1{,}04729^{15} \approx 2{,}000$ .
La règle de 70 donnait $\frac{70}{4{,}73} \approx 14{,}8$ ans : une bonne approximation.

b) On résout $1{,}04729^{n} = 5$ .
$n = \frac{\ln 5}{\ln 1{,}04729} = \frac{1{,}6094}{0{,}04621} \approx 34{,}83$ .
Il faudrait donc environ 35 ans.
On peut le retrouver autrement : multiplier par 5 est un peu plus que doubler deux fois (soit 4).
2
Un abonnement augmente de 3 % la première année, puis de 5 % la seconde.
a) Calcule le taux global sur les deux années.
b) Quel taux annuel constant donnerait la même hausse globale ?
Voir le corrigéoffert
a) Coefficient global : $1{,}03 \times 1{,}05 = 1{,}0815$ .
La hausse globale est donc de 8,15 %.
Ce n'est pas $3 + 5 = 8\,\%$ : les 0,15 point viennent de la composition.

b) On cherche $t$ tel que $(1 + t)^{2} = 1{,}0815$ .
$1 + t = \sqrt{1{,}0815} \approx 1{,}03995$ .
Le taux annuel moyen est d'environ 4,00 %.
Ce n'est pas la moyenne arithmétique de 3 % et 5 %, qui vaudrait exactement 4 %,
mais elle en est ici extrêmement proche.
On parle de taux moyen géométrique, toujours légèrement inférieur au taux moyen arithmétique.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Une quantité suit le modèle $f(t) = 100\,e^{-0{,}08t}$ .
a) Quel est le taux annuel de baisse ?
b) Au bout de combien de temps reste-t-il 10 % de la quantité initiale ?
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4
Une ville de 80 000 habitants perd 1,5 % de sa population chaque année.
a) Exprime la population $P_{n}$ après $n$ années.
b) Au bout de combien d'années passera-t-elle sous 60 000 habitants ?
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5
Deux placements sont proposés : le premier à 5 % par an composé annuellement, le second au taux continu $e^{0{,}048t}$ .
a) Compare les coefficients au bout d'un an.
b) Lequel est le plus avantageux au bout de 10 ans, pour 1 000 € placés ?
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6
Une grandeur suit le modèle continu $f(t) = f(0)\,e^{0{,}05t}$ , avec $t$ en années.
a) Quel est le taux annuel d'évolution correspondant ?
b) Au bout de combien d'années la grandeur a-t-elle triplé ?
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7
Une substance perd 12 % de sa masse chaque heure.
a) Calcule sa demi-vie, arrondie au dixième d'heure.
b) Quelle proportion reste-t-il au bout de 10 heures ?
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8
Un prix baisse de 30 % en 3 ans, avec un taux annuel constant.
a) Détermine ce taux annuel.
b) Quel serait le prix au bout de 5 ans, pour un prix initial de 200 € ?
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9
Une population augmente de 6 % par an.
a) Détermine le temps de doublement, en nombre entier d'années.
b) Compare ce résultat à l'approximation dite « règle de 70 ».
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10
Un capital augmente de 44 % en 2 ans, avec un taux annuel constant.
a) Détermine ce taux annuel.
b) Quel serait le taux annuel pour une hausse de 44 % en 4 ans ?
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