Modèles d'évolution

a) Le coefficient global vaut $1{,}44$ et se décompose en deux facteurs égaux.
Si $t$ est le taux annuel, on a $(1 + t)^{2} = 1{,}44$.
Donc $1 + t = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2$, soit $t = 0{,}2$.
Le taux annuel est de 20 %.
Contrôle : $1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44$ ✓.
On note que ce n'est pas $44 \div 2 = 22\,\%$ : les hausses se composent, elles ne s'additionnent pas.

b) Cette fois $(1 + t)^{4} = 1{,}44$, donc $1 + t = 1{,}44^{0{,}25}$.
$1{,}44^{0{,}25} \approx 1{,}0954$, soit un taux d'environ 9,54 %.
Contrôle : $1{,}0954^{4} \approx 1{,}44$ ✓.
Étaler la même hausse sur deux fois plus d'années ne divise donc pas le taux par 2.
On obtient $9{,}54\,\%$ au lieu de $10\,\%$, soit un peu moins.
La relation générale est $t = c^{1/n} - 1$, où $c$ est le coefficient global.
C'est ce qu'on appelle le taux annuel moyen, ou taux équivalent.

a) On cherche le plus petit $n$ tel que $1{,}06^{n} \ge 2$.
En appliquant le logarithme : $n\ln(1{,}06) \ge \ln 2$.
$n \ge \frac{0{,}6931}{0{,}05827} \approx 11{,}90$.
Il faut donc 12 années.
Contrôle : $1{,}06^{11} \approx 1{,}898$ et $1{,}06^{12} \approx 2{,}012$ ✓.

b) La règle de 70 estime le temps de doublement par $\frac{70}{\text{taux en \%}}$.
Ici $\frac{70}{6} \approx 11{,}7$ années.
L'approximation est très proche du résultat exact, 11,90.
Elle vient de $\ln 2 \approx 0{,}693$ et de $\ln(1+t) \approx t$ pour $t$ petit.
Elle se dégrade quand le taux devient grand : pour 50 %, elle donnerait 1,4 an contre 1,71 en réalité.
À l'inverse, elle devient très précise pour les petits taux.
Pour 1 % par an, elle annonce 70 ans, et le calcul exact donne 69,66 ans.
Cette règle est très utilisée en économie pour estimer mentalement une croissance.