Modèles d'évolution

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1
Une culture de bactéries compte 5 000 individus et croît de 25 % par heure.
Compare $u_{10}$ et f(10). Que remarques-tu ?
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a) Chaque heure la population est $\times 1{,}25$ : $u_n = 5 000 \times 1{,}25^{n}$ .
Doublement : $1{,}25^{n} \ge 2$ , soit $n \ge \frac{\ln (2)}{\ln (1{,}25)} \approx \frac{0{,}6931}{0{,}2231} \approx 3{,}11$ .
En heures pleines, il faut $n = 4$ heures.
(Vérif : $1{,}25^{3} \approx 1{,}95 < 2$ et $1{,}25^{4} \approx 2{,}44 \ge 2$ .)

b) Pour que le facteur horaire soit le même : $e^k = 1{,}25$ , donc $k = \ln (1{,}25) \approx 0{,}2231$ .
Temps de doublement continu : $T = \frac{\ln (2)}{k} = \frac{\ln (2)}{\ln (1{,}25)} \approx 3{,}11$ heures.

c) $u_{10} = 5 000 \times 1{,}25^{10}$ . Or $1{,}25^{10} \approx 9{,}3132$ , donc $u_{10} \approx 46 566$ .
$f(10) = 5 000 \times e^{10 \times 0{,}2231} = 5 000 \times e^{2{,}2314} \approx 5 000 \times 9{,}3132 \approx 46 566$ .
On remarque que $u_{10} = f(10)$ : c'est normal, car $e^{k n} = (e^k)^{n} = 1{,}25^{n}$ . Aux instants entiers, les deux modèles donnent exactement les mêmes valeurs ; le modèle continu prolonge simplement le modèle discret entre ces instants.
2
La ville A compte 20 000 habitants et perd 2 % par an. La ville B compte 12 000 habitants et gagne 3 % par an. On note $A_n$ et $B_n$ leurs populations au bout de n années.
À partir de quelle année la ville B dépasse-t-elle la ville A ?
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a) Ville A : coefficient 0,98, donc $A_n = 20 000 \times 0{,}98^{n}$ .
Ville B : coefficient 1,03, donc $B_n = 12 000 \times 1{,}03^{n}$ .

b) Égalité $A_n = B_n$ :
$20 000 \times 0{,}98^{n} = 12 000 \times 1{,}03^{n}$ .
On regroupe les puissances : $\frac{1{,}03^{n}}{0{,}98^{n}} = \frac{20000}{12000}$ , soit $(\frac{1{,}03}{0{,}98})^{n} = \frac{5}{3}$ .
On $a \frac{1{,}03}{0{,}98} \approx 1{,}05102$ . On applique ln :
$n = \frac{\ln (5/3)}{\ln (1{,}05102)} \approx \frac{0{,}51083}{0{,}04977} \approx 10{,}26$ .

c) L'égalité théorique a lieu vers $n \approx 10{,}26$ . Comme n est entier, on compare :
$A_{10} = 20 000 \times 0{,}98^{10} \approx 16 341$ et $B_{10} = 12 000 \times 1{,}03^{10} \approx 16 127$ : B est encore en dessous.
$A_{11} \approx 16 015$ et $B_{11} \approx 16 611$ : B dépasse A.
Donc la ville B dépasse la ville A à partir de la 11ᵉ année.
3
On souhaite faire fructifier 8 000 € à intérêts composés (taux annuel constant).
Quel taux mensuel est équivalent à un taux annuel de 5 % ? (arrondi à 0,001 %)
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4
Un lac contient 50 000 poissons. Chaque année, la population augmente naturellement de 20 %, puis on en pêche 8 000. On note $u_n$ le nombre de poissons au bout de n années : $u_0 = 50 000$ et $u_(n+1) = 1{,}2 u_n - 8 000$ .
Quel quota annuel de pêche Q (au lieu de 8 000) maintiendrait la population constante à 50 000 poissons ?
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5
Deux substances évoluent en continu. La substance A a une demi-vie de 3 h (décroissance) ; la substance B a un temps de doublement de 5 h (croissance). À $t = 0$ , on a 200 mg de A et 10 mg de B.
Quelle est alors la masse commune ? (arrondi au dixième de mg)
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6
Le carbone 14 a une demi-vie de 5 730 ans. Sa quantité suit le modèle $f(t) = f(0) e^{kt}$ , t en années.
Un autre échantillon en contient 80 %. Quel est son âge ? (arrondi à l'année)
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7
Une tasse de thé à $80 ^{\circ}\mathrm{C}$ est posée dans une pièce à $18 ^{\circ}\mathrm{C}$ . Sa température y(t) (°C, t en minutes) vérifie $y' = -0{,}05 (y - 18)$ .
Au bout de combien de temps la température atteint-elle $30 ^{\circ}\mathrm{C}$ ? (arrondi au dixième de minute)
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8
Soit la suite $u_0 = 100$ et $u_(n+1) = 0{,}5 u_n + 30$ .
À partir de quel rang a-t-on $u_n \le 61$ ?
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9
Un patient reçoit un traitement quotidien. Chaque jour, son organisme élimine 30 % du médicament présent, puis il prend une dose de 21 mg. On note $u_n$ la quantité (en mg) présente juste après la prise du jour n, avec $u_0 = 21$ et $u_(n+1) = 0{,}7 u_n + 21$ .
À partir de quel jour la quantité dépasse-t-elle 65 mg ?
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10
On ouvre un compte avec 1 000 €. Il rapporte 3 % par an, et chaque année on verse 500 € supplémentaires (juste après les intérêts). On note $u_n$ le capital au bout de n années : $u_0 = 1 000$ et $u_(n+1) = 1{,}03 u_n + 500$ .
À partir de quelle année le capital dépasse-t-il 10 000 € ?
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