Modèles d’évolution

Un patient reçoit un traitement quotidien. Chaque jour, son organisme élimine 30 % du médicament présent, puis il prend une dose de 21 mg. On note $u_{n}$ la quantité (en mg) présente juste après la prise du jour n, avec $u_{0}$ = 21 et u_(n+1) = 0,7 $u_{n}$ + 21.
a) Détermine l'état d'équilibre ℓ.
b) Exprime $u_{n}$ en fonction de n.
c) À partir de quel jour la quantité dépasse-t-elle 65 mg ?

Une culture de bactéries compte 5 000 individus et croît de 25 % par heure.
a) Modélise la population par une suite ($u_{n}$) et détermine son temps de doublement en heures pleines.
b) On modélise aussi en continu par f(t) = 5 000 e^(kt). Détermine k et le temps de doublement continu (arrondi au centième).
c) Compare $u_{10}$ et f(10). Que remarques-tu ?

Une tasse de thé à 80 °C est posée dans une pièce à 18 °C. Sa température y(t) (°C, t en minutes) vérifie y′ = −0,05 (y − 18).
a) Écris l'équation sous la forme y′ = a y + b et donne l'état d'équilibre.
b) Résous l'équation avec y(0) = 80.
c) Au bout de combien de temps la température atteint-elle 30 °C ? (arrondi au dixième de minute)

On ouvre un compte avec 1 000 €. Il rapporte 3 % par an, et chaque année on verse 500 € supplémentaires (juste après les intérêts). On note $u_{n}$ le capital au bout de n années : $u_{0}$ = 1 000 et u_(n+1) = 1,03 $u_{n}$ + 500.
a) Détermine le point fixe ℓ et exprime $u_{n}$ en fonction de n.
b) Calcule le capital au bout de 10 ans (arrondi à l'euro).
c) À partir de quelle année le capital dépasse-t-il 10 000 € ?

Le carbone 14 a une demi-vie de 5 730 ans. Sa quantité suit le modèle f(t) = f(0) e^(kt), t en années.
a) Détermine la valeur de k.
b) Un échantillon ne contient plus que 25 % de son carbone 14 initial. Quel est son âge ?
c) Un autre échantillon en contient 80 %. Quel est son âge ? (arrondi à l'année)

La ville A compte 20 000 habitants et perd 2 % par an. La ville B compte 12 000 habitants et gagne 3 % par an. On note $A_{n}$ et $B_{n}$ leurs populations au bout de n années.
a) Exprime $A_{n}$ et $B_{n}$ en fonction de n.
b) Écris l'équation traduisant l'égalité des deux populations et résous-la.
c) À partir de quelle année la ville B dépasse-t-elle la ville A ?

On souhaite faire fructifier 8 000 € à intérêts composés (taux annuel constant).
a) Quel taux annuel permet d'atteindre 12 000 € en 6 ans ? (arrondi à 0,01 %)
b) Avec un taux de 5 % par an, en combien d'années entières atteint-on 12 000 € ?
c) Quel taux mensuel est équivalent à un taux annuel de 5 % ? (arrondi à 0,001 %)

Soit la suite $u_{0}$ = 100 et u_(n+1) = 0,5 $u_{n}$ + 30.
a) Détermine le point fixe ℓ et exprime $u_{n}$ en fonction de n.
b) Montre que la suite ($u_{n}$) est décroissante et minorée par 60. Quelle est sa limite ?
c) À partir de quel rang a-t-on $u_{n}$ ≤ 61 ?

Deux substances évoluent en continu. La substance A a une demi-vie de 3 h (décroissance) ; la substance B a un temps de doublement de 5 h (croissance). À t = 0, on a 200 mg de A et 10 mg de B.
a) Donne les modèles $f_{A}$(t) = 200 e^($k_{A}$ t) et $f_{B}$(t) = 10 e^($k_{B}$ t) en déterminant $k_{A}$ et $k_{B}$.
b) À quel instant les deux masses sont-elles égales ? (arrondi au centième d'heure)
c) Quelle est alors la masse commune ? (arrondi au dixième de mg)

Un lac contient 50 000 poissons. Chaque année, la population augmente naturellement de 20 %, puis on en pêche 8 000. On note $u_{n}$ le nombre de poissons au bout de n années : $u_{0}$ = 50 000 et u_(n+1) = 1,2 $u_{n}$ − 8 000.
a) Calcule $u_{1}$ et $u_{2}$.
b) Détermine le point fixe ℓ et exprime $u_{n}$. La population est-elle viable à long terme ?
c) Quel quota annuel de pêche Q (au lieu de 8 000) maintiendrait la population constante à 50 000 poissons ?