Modèles d'évolution

🟡 Moyen

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres corrigés détaillés sont réservés aux abonnés.

1
Un capital augmente de 21 % en 2 ans, avec un taux annuel d'évolution constant.
Détermine ce taux annuel.
Voir le corrigéoffert
Notons q le coefficient multiplicateur annuel (le même chaque année). Sur 2 ans, le coefficient global est $q^{2}$ .
Une hausse globale de 21 % correspond à un coefficient global de 1,21 :
$q^{2} = 1{,}21$ .

Comme $q > 0$ : $q = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$ .

Le coefficient annuel est 1,1, ce qui correspond à une hausse de 10 % par an.

Contrôle : $1{,}1^{2} = 1{,}21$ , soit bien $+21 \%$ sur 2 ans. (Attention : ce n'est pas $21 \div 2 = 10{,}5 \%$ .)
2
Le prix d'un produit baisse de 20 %.
De quel pourcentage faut-il ensuite l'augmenter pour qu'il retrouve exactement sa valeur de départ ?
Voir le corrigéoffert
Une baisse de 20 % correspond à $\times 0{,}8$ . Notons t le taux (en écriture décimale) de la hausse à appliquer ensuite ; son coefficient est $1 + t$ .
Pour revenir à la valeur de départ, le coefficient global doit valoir 1 :
$0{,}8 \times (1 + t) = 1$ .

On isole $(1 + t)$ :
$1 + t = \frac{1}{0{,}8} = 1{,}25$ .
Donc $t = 0{,}25$ , soit $+25 \%$ .

Il faut augmenter de 25 %.

Un dernier contrôle : un prix de 100 € devient 80 € $(-20 \%)$ , puis $80 \times 1{,}25 = 100$ € $(+25 \%)$ . On retrouve bien 100 €. La hausse (25 %) est supérieure à la baisse (20 %).
3
Une population augmente de 2 % par an. On modélise cette évolution en continu par $f(t) = f(0) e^{kt}$ , t en années.
Détermine la valeur de k pour que le modèle continu donne le même facteur annuel que le modèle discret (arrondi à 4 décimales).
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
4
Une substance perd 15 % de sa masse chaque heure.
Calcule sa demi-vie, c'est-à-dire la durée au bout de laquelle il ne reste plus que la moitié de la masse (arrondi au dixième d'heure).
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
5
Une population augmente de 4 % par an. On veut savoir au bout de combien d'années elle aura doublé.
Détermine ce temps de doublement (nombre entier d'années).
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
6
Un noyau radioactif suit le modèle $f(t) = f(0) e^{-0{,}04t}$ , t en années.
Calcule sa demi-vie (arrondi au dixième d'année).
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
7
Une grandeur suit le modèle continu $f(t) = f(0) e^{0{,}03t}$ , avec t en années.
Calcule le temps de doublement (arrondi au dixième d'année).
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
8
Résous l'équation différentielle $y' = -0{,}5 y + 10$ avec $y(0) = 4$ .
Précise la limite de y(t) quand t devient grand.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
9
Soit la suite définie par $u_0 = 4$ et $u_(n+1) = 0{,}75 u_n + 12$ .
a) Détermine le point fixe ℓ.
b) Exprime $u_n$ en fonction de n.
c) Calcule $u_3$ (arrondi au dixième).
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
10
Un café à $90 ^{\circ}\mathrm{C}$ refroidit dans une pièce à $20 ^{\circ}\mathrm{C}$ . Sa température y(t) (en °C, t en minutes) vérifie $y' = -0{,}1 (y - 20)$ avec $y(0) = 90$ .
a) Résous cette équation différentielle.
b) Au bout de combien de temps le café atteint-il $40 ^{\circ}\mathrm{C}$ ? (arrondi au dixième de minute)
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →

Comment ça s'est passé ?

Retrouve tout dans Mon suivi.

Et maintenant ?

Niveau DifficileContinue à t'entraîner

Ou au choix

Revoir le coursLa fiche de leçon Fiche interactiveL'atelier à faire en ligne Examen du chapitreTeste-toi, noté /20 Annales du BacSujets d'examen corrigés Chapitre suivant : La fonction logarithmeOn continue le programme

← Changer de niveau