Modèles d’évolution

🟡 Moyen

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1
Un capital augmente de 21 % en 2 ans, avec un taux annuel d'évolution constant.
Détermine ce taux annuel.
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Notons q le coefficient multiplicateur annuel (le même chaque année). Sur 2 ans, le coefficient global est q².
Une hausse globale de 21 % correspond à un coefficient global de 1,21 :
q² = 1,21.

Comme q > 0 : q = √1,21 = 1,1.

Le coefficient annuel est 1,1, ce qui correspond à une hausse de 10 % par an.

Vérification : 1,1² = 1,21, soit bien +21 % sur 2 ans. (Attention : ce n'est pas 21 ÷ 2 = 10,5 %.)
2
Une population augmente de 4 % par an. On veut savoir au bout de combien d'années elle aura doublé.
Détermine ce temps de doublement (nombre entier d'années).
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Le coefficient multiplicateur annuel est 1,04, donc $u_{n}$ = $u_{0}$ × 1,04ⁿ.
La population double quand $u_{n}$ ≥ 2 $u_{0}$ , c'est-à-dire :
1,04ⁿ ≥ 2.

On applique la fonction ln (croissante) :
n × ln(1,04) ≥ ln(2)
n ≥ $\frac{ln(2)}{ln(1{,}04)}$ .

ln(2) ≈ 0,6931 et ln(1,04) ≈ 0,0392, donc :
n ≥ $\frac{0{,}6931}{0{,}0392}$ ≈ 17,67.

Comme n est un entier, il faut n = 18.
La population aura doublé au bout de 18 ans.

Vérification : 1,04¹⁷ ≈ 1,948 (< 2) et 1,04¹⁸ ≈ 2,026 (≥ 2). C'est bien à la 18ᵉ année que le doublement est atteint.
3
Une substance perd 15 % de sa masse chaque heure.
Calcule sa demi-vie, c'est-à-dire la durée au bout de laquelle il ne reste plus que la moitié de la masse (arrondi au dixième d'heure).
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4
Une grandeur suit le modèle continu f(t) = f(0) e^(0,03t), avec t en années.
Calcule le temps de doublement (arrondi au dixième d'année).
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5
Un noyau radioactif suit le modèle f(t) = f(0) e^(−0,04t), t en années.
Calcule sa demi-vie (arrondi au dixième d'année).
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6
Soit la suite définie par $u_{0}$ = 4 et u_(n+1) = 0,75 $u_{n}$ + 12.
a) Détermine le point fixe ℓ.
b) Exprime $u_{n}$ en fonction de n.
c) Calcule $u_{3}$ (arrondi au dixième).
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7
Résous l'équation différentielle y′ = −0,5 y + 10 avec y(0) = 4.
Précise la limite de y(t) quand t devient grand.
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8
Un café à 90 °C refroidit dans une pièce à 20 °C. Sa température y(t) (en °C, t en minutes) vérifie y′ = −0,1 (y − 20) avec y(0) = 90.
a) Résous cette équation différentielle.
b) Au bout de combien de temps le café atteint-il 40 °C ? (arrondi au dixième de minute)
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9
Une population augmente de 2 % par an. On modélise cette évolution en continu par f(t) = f(0) e^(kt), t en années.
Détermine la valeur de k pour que le modèle continu donne le même facteur annuel que le modèle discret (arrondi à 4 décimales).
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10
Le prix d'un produit baisse de 20 %.
De quel pourcentage faut-il ensuite l'augmenter pour qu'il retrouve exactement sa valeur de départ ?
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Comment ça s'est passé ?

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