Modèles d'évolution

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1
Un prix subit deux hausses successives : d'abord $+5 \%$ , puis encore $+5 \%$ .
a) Calcule le coefficient multiplicateur global.
b) Quel est le taux d'évolution global en pourcentage ? (Ce n'est pas $+10 \%$ .)
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a) Chaque hausse de 5 % correspond à une multiplication par 1,05. Deux hausses successives correspondent au produit des coefficients :
CM global $= 1{,}05 \times 1{,}05 = 1{,}05^{2} = 1{,}1025$ .

b) Un coefficient de 1,1025 correspond à une hausse de $1{,}1025 - 1 = 0{,}1025$ , soit $+10{,}25 \%$ .

Le taux global est $+10{,}25 \%$ et non $+10 \%$ : les pourcentages ne s'additionnent pas, on multiplie les coefficients.
2
Un article subit une baisse de 40 %, puis une hausse de 40 %.
a) Calcule le coefficient multiplicateur global.
b) Le prix est-il revenu à sa valeur de départ ? Donne le taux d'évolution global.
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a) Une baisse de 40 % correspond à $\times 0{,}6$ ; une hausse de 40 % correspond à $\times 1{,}4$ .
CM global $= 0{,}6 \times 1{,}4 = 0{,}84$ .

b) Le coefficient global 0,84 est différent de 1 : le prix n'est PAS revenu à sa valeur de départ.
0,84 correspond à une baisse de $1 - 0{,}84 = 0{,}16$ , soit $-16 \%$ .

Exemple concret : un prix de 100 € devient 60 € $(-40 \%)$ , puis $60 \times 1{,}4 = 84$ € $(+40 \%)$ . On a bien perdu 16 %.
3
Résous l'équation différentielle $y' = -2y$ avec la condition initiale $y(0) = 5$ .
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4
Le nombre d'abonnés d'une chaîne passe de 1 200 à 1 500.
Calcule le taux d'évolution en pourcentage.
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5
Un loyer de 650 € augmente de 6 %.
a) Donne le coefficient multiplicateur associé à cette hausse.
b) Calcule le nouveau loyer.
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6
Un ordinateur coûte 900 €. Son prix baisse de 30 %.
a) Donne le coefficient multiplicateur associé à cette baisse.
b) Calcule le nouveau prix.
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7
Une suite est définie par $u_0 = 0$ et, pour tout n, $u_(n+1) = 0{,}6 u_n + 20$ .
Détermine le point fixe (état d'équilibre) ℓ de cette suite.
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8
La concentration d'un médicament dans le sang est modélisée par $f(t) = 50 e^{-0{,}2t}$ , où t est en heures et f(t) en mg/L.
a) Quelle est la concentration à l'instant $t = 0$ ?
b) Calcule la concentration au bout de 5 heures (arrondi au dixième).
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9
On place 2 000 € sur un compte qui rapporte 4 % par an. On note $u_n$ le capital au bout de n années, avec $u_0 = 2 000$ .
a) Exprime $u_n$ en fonction de n.
b) Calcule le capital au bout de 5 ans (arrondi au centime).
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10
Une bougie mesure 18 cm. Elle fond de 1,5 cm par heure. On note $u_n$ sa hauteur après n heures, avec $u_0 = 18$ .
a) Exprime $u_n$ en fonction de n.
b) Quelle est sa hauteur après 6 heures ?
c) Au bout de combien d'heures a-t-elle entièrement fondu ?
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