Temps d'attente

🟠 Difficile

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1
Sur une chaîne de production, chaque pièce est défectueuse avec la probabilité $p = 0{,}05$ , indépendamment des autres. On note $X$ le rang de la première pièce défectueuse.
a) Quelle loi suit $X$ ? Calcule $P(X = 6)$ .
b) Calcule la probabilité qu'aucune des 20 premières pièces ne soit défectueuse.
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a) $X$ compte le rang du premier succès dans une suite d'épreuves indépendantes.
Elle suit donc la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}05$ .
$P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$ .
$P(X = 6) = 0{,}95^{5} \times 0{,}05 \approx 0{,}7738 \times 0{,}05 \approx 0{,}0387$ .

b) Aucune défectueuse parmi les 20 premières signifie $X > 20$ .
$P(X > 20) = 0{,}95^{20} \approx 0{,}3585$ .
Il y a donc environ 36 % de chances de ne trouver aucun défaut sur 20 pièces.
L'espérance vaut $\frac{1}{p} = 20$ : on attend en moyenne 20 pièces avant le premier défaut.
2
La durée de vie $X$ , en années, d'un moteur suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}25$ .
a) Calcule $P(X > 8)$ .
b) Calcule $P(X > 12 \mid X > 4)$ et commente.
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a) Pour la loi exponentielle, $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ .
$P(X > 8) = e^{-0{,}25 \times 8} = e^{-2} \approx 0{,}1353$ .

b) $P(X > 12 \mid X > 4) = \frac{P(X > 12)}{P(X > 4)} = \frac{e^{-3}}{e^{-1}} = e^{-2} \approx 0{,}1353$ .
C'est exactement $P(X > 8)$ .
Un moteur qui a déjà fonctionné 4 ans a la même probabilité de tenir 8 ans de plus
qu'un moteur neuf d'en tenir 8.
C'est la propriété d'absence de mémoire, caractéristique de la loi exponentielle.
Elle modélise donc une usure nulle, ce qui est une hypothèse forte.
3
À chaque tir, un archer atteint la cible avec probabilité $p = 0{,}3$ , indépendamment des tirs. On note $X$ le rang du premier tir réussi.
a) Calcule $P(X \le 4)$ .
b) Combien de tirs faut-il en moyenne pour réussir ?
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4
La durée de vie $X$ (en années) d'un noyau radioactif suit une loi exponentielle. Sa demi-vie est de 2 400 ans.
a) Détermine le paramètre $\lambda$ .
b) Calcule la probabilité qu'un noyau survive plus de 5 000 ans.
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5
On lance un dé jusqu'à obtenir un 6. On note $X$ le nombre de lancers nécessaires.
a) Quelle loi suit $X$ ? Calcule $P(X = 3)$ et $E(X)$ .
b) Calcule $P(X > 10)$ .
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6
Le temps d'attente $X$ à un guichet, en minutes, suit une loi exponentielle d'espérance 8 minutes.
a) Détermine $\lambda$ et calcule $P(X > 10)$ .
b) Calcule $P(X < 5)$ .
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7
Une machine tombe en panne selon une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}1$ (temps en mois).
a) Calcule la probabilité qu'elle fonctionne encore au bout d'un an.
b) Sachant qu'elle fonctionne depuis 6 mois, calcule la probabilité qu'elle atteigne 18 mois.
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8
On tire des cartes avec remise dans un jeu de 32 cartes jusqu'à obtenir un as. On note $X$ le rang du premier as.
a) Quelle loi suit $X$ ? Calcule $P(X \le 5)$ .
b) Calcule $E(X)$ et compare avec la réponse précédente.
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9
La durée de vie d'une ampoule suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}0008$ (en heures).
a) Calcule sa durée de vie moyenne et sa demi-vie.
b) Calcule $P(X > 2\,000)$ .
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10
Un joueur tente un panier avec probabilité de réussite $p = 0{,}2$ à chaque essai.
a) Calcule la probabilité qu'il lui faille au moins 8 essais pour réussir.
b) Calcule la probabilité qu'il réussisse entre le 3ᵉ et le 5ᵉ essai inclus.
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