Temps d'attente

🟠 Difficile

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1
On lance un dé jusqu'à obtenir un 6. On note $X$ le nombre de lancers nécessaires.
a) Quelle loi suit $X$ ? Calcule $P(X = 3)$ et $E(X)$ .
b) Calcule $P(X > 10)$ .
Voir le corrigéoffert
a) $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = \frac{1}{6}$ .
$P(X = 3) = \left(\frac{5}{6}\right)^{2} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216} \approx 0{,}1157$ .
$E(X) = \frac{1}{p} = 6$ lancers en moyenne.

b) $P(X > 10) = \left(\frac{5}{6}\right)^{10} \approx 0{,}1615$ .
Il y a donc environ 16 % de chances de n'avoir toujours pas obtenu de 6 après 10 lancers.
C'est loin d'être négligeable, alors que l'espérance n'est que de 6.
2
La durée de vie d'une ampoule suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}0008$ (en heures).
a) Calcule sa durée de vie moyenne et sa demi-vie.
b) Calcule $P(X > 2\,000)$ .
Voir le corrigéoffert
a) $E(X) = \frac{1}{0{,}0008} = 1\,250$ heures.
La demi-vie vérifie $e^{-0{,}0008t} = 0{,}5$ .
$t = \frac{\ln 2}{0{,}0008} \approx 866{,}4$ heures.
Elle est nettement inférieure à la moyenne, ce qui traduit la dissymétrie de la loi.

b) $P(X > 2\,000) = e^{-0{,}0008 \times 2\,000} = e^{-1{,}6} \approx 0{,}2019$ .
Environ 20 % des ampoules dépassent 2 000 heures.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Le temps d'attente $X$ à un guichet, en minutes, suit une loi exponentielle d'espérance 8 minutes.
a) Détermine $\lambda$ et calcule $P(X > 10)$ .
b) Calcule $P(X < 5)$ .
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4
À chaque tir, un archer atteint la cible avec probabilité $p = 0{,}3$ , indépendamment des tirs. On note $X$ le rang du premier tir réussi.
a) Calcule $P(X \le 4)$ .
b) Combien de tirs faut-il en moyenne pour réussir ?
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5
On tire des cartes avec remise dans un jeu de 32 cartes jusqu'à obtenir un as. On note $X$ le rang du premier as.
a) Quelle loi suit $X$ ? Calcule $P(X \le 5)$ .
b) Calcule $E(X)$ et compare avec la réponse précédente.
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6
Une machine tombe en panne selon une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}1$ (temps en mois).
a) Calcule la probabilité qu'elle fonctionne encore au bout d'un an.
b) Sachant qu'elle fonctionne depuis 6 mois, calcule la probabilité qu'elle atteigne 18 mois.
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7
La durée de vie $X$ (en années) d'un noyau radioactif suit une loi exponentielle. Sa demi-vie est de 2 400 ans.
a) Détermine le paramètre $\lambda$ .
b) Calcule la probabilité qu'un noyau survive plus de 5 000 ans.
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8
Un joueur tente un panier avec probabilité de réussite $p = 0{,}2$ à chaque essai.
a) Calcule la probabilité qu'il lui faille au moins 8 essais pour réussir.
b) Calcule la probabilité qu'il réussisse entre le 3ᵉ et le 5ᵉ essai inclus.
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9
La durée de vie $X$ , en années, d'un moteur suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}25$ .
a) Calcule $P(X > 8)$ .
b) Calcule $P(X > 12 \mid X > 4)$ et commente.
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10
Sur une chaîne de production, chaque pièce est défectueuse avec la probabilité $p = 0{,}05$ , indépendamment des autres. On note $X$ le rang de la première pièce défectueuse.
a) Quelle loi suit $X$ ? Calcule $P(X = 6)$ .
b) Calcule la probabilité qu'aucune des 20 premières pièces ne soit défectueuse.
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