Temps d'attente

🟡 Moyen

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1
À chaque tir, un archer atteint la cible avec probabilité $p = 0{,}4$ , indépendamment des tirs. On note X le rang du premier tir réussi. Calcule la probabilité qu'il réussisse en 3 tirs ou moins, soit $P(X \le 3)$ .
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On passe par l'événement contraire, plus simple : « $X \le 3$ » est le contraire de « $X > 3$ ».
Étape 1 : $P(X > 3) = (1 - p)^{3} = (0{,}6)^{3}$ (les 3 premiers tirs ratés).
$(0{,}6)^{3} = 0{,}216$ .
Étape 2 : $P(X \le 3) = 1 - P(X > 3) = 1 - 0{,}216 = 0{,}784$ .
Donc $P(X \le 3) = 0{,}784$ .
Vérification directe : $P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 0{,}4 + 0{,}6\times 0{,}4 + 0{,}6^{2}\times 0{,}4 = 0{,}4 + 0{,}24 + 0{,}144 = 0{,}784$ . Cohérent.
2
La durée de fonctionnement X, en jours, d'un appareil suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}1$ . Sachant que l'appareil fonctionne encore après 12 jours, calcule la probabilité qu'il fonctionne encore après 20 jours.
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On cherche $P(X > 20 | X > 12)$ . On applique l'absence de mémoire : $P(X > t + s | X > t) = P(X > s)$ .
Étape 1 : ici $t = 12$ et $t + s = 20$ , donc $s = 8$ .
Étape 2 : $P(X > 20 | X > 12) = P(X > 8) = e^{-0{,}1 \times 8} = e^{-0{,}8}$ .
Étape 3 : $e^{-0{,}8} \approx 0{,}4493$ .
Donc la probabilité cherchée est environ 0,4493.
Interprétation : l'appareil « oublie » ses 12 jours déjà passés ; tenir 8 jours de plus a la même probabilité que tenir 8 jours neuf.
3
La durée de vie X, en années, d'un moteur suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}2$ .
a) Calcule $P(X > 10)$ .
b) Sachant que le moteur fonctionne encore après 5 ans, calcule $P(X > 15 | X > 5)$ . Que remarques-tu ?
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4
Le temps d'attente X, en minutes, avant d'être servi suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}3$ . Détermine le temps t tel que la probabilité d'avoir été servi avant t soit égale à 0,9, soit $P(X \le t) = 0{,}9$ . Donne une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
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5
À chaque lancer d'une pièce truquée, on obtient « pile » avec probabilité $p = 0{,}25$ , indépendamment. On note X le rang du premier « pile ».
a) Calcule $P(X > 4)$ .
b) Sachant que les 4 premiers lancers ont donné « face », calcule $P(X > 7 | X > 4)$ .
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6
On modélise la durée de vie X, en heures, d'un capteur par une loi exponentielle de paramètre λ. Un test montre que $P(X > 2) = 0{,}7$ .
a) Détermine λ (valeur approchée à $10^{-3}$ près).
b) En déduire la durée de vie moyenne du capteur.
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7
À chaque tentative, un logiciel de reconnaissance réussit avec probabilité $p = 0{,}05$ , indépendamment. On note X le rang de la première réussite. Détermine le plus petit nombre n de tentatives pour que la probabilité d'au moins une réussite dépasse 0,99, soit $P(X \le n) \ge 0{,}99$ .
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8
Deux modèles d'ampoules ont des durées de vie exponentielles (en heures) : le modèle A de paramètre $\lambda _A = 0{,}08$ et le modèle B de paramètre $\lambda _B = 0{,}05$ .
a) Calcule la durée de vie moyenne de chaque modèle.
b) Pour chaque modèle, calcule la probabilité de dépasser 20 heures.
c) Quel modèle est le plus fiable ?
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9
La durée de vie X (en années) d'un noyau radioactif suit une loi exponentielle de paramètre λ. On sait qu'un noyau a une probabilité 0,5 de s'être désintégré au bout de 1600 ans (c'est la demi-vie).
a) Détermine λ.
b) Calcule la probabilité qu'un noyau survive au-delà de 3200 ans.
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10
Sur une chaîne de production, chaque pièce est défectueuse avec la probabilité $p = 0{,}03$ , indépendamment des autres. On contrôle les pièces une à une et on note X le rang de la première pièce défectueuse.
a) Quelle loi suit X ?
b) Calcule la probabilité que la première pièce défectueuse soit la 5ᵉ contrôlée.
c) Calcule la probabilité qu'aucune des 10 premières pièces ne soit défectueuse.
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