Temps d’attente
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Sur une chaîne de production, chaque pièce est défectueuse avec la probabilité p = 0,03, indépendamment des autres. On contrôle les pièces une à une et on note X le rang de la première pièce défectueuse. a) Quelle loi suit X ? b) Calcule la probabilité que la première pièce défectueuse soit la 5ᵉ contrôlée. c) Calcule la probabilité qu'aucune des 10 premières pièces ne soit défectueuse.
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a) On contrôle des pièces indépendantes, et X est le rang du premier « succès » (ici, une pièce défectueuse) : X suit la loi géométrique de paramètre p = 0,03.
b) On veut P(X = 5) = (1 − 0,03)⁴ × 0,03 = (0,97)⁴ × 0,03.
Calcul : (0,97)² = 0,9409, puis (0,97)⁴ = (0,9409)² ≈ 0,8853.
P(X = 5) ≈ 0,8853 × 0,03 ≈ 0,0266.
c) « Aucune défectueuse parmi les 10 premières » signifie X > 10, donc P(X > 10) = .
Calcul : ≈ 0,7374.
Donc P(X > 10) ≈ 0,7374. - 2
La durée de vie X, en années, d'un moteur suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,2. a) Calcule P(X > 10). b) Sachant que le moteur fonctionne encore après 5 ans, calcule P(X > 15 | X > 5). Que remarques-tu ?
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a) P(X > 10) = e^(−λ × 10) = e^(−0,2 × 10) = e^(−2) ≈ 0,1353.
b) On utilise la propriété d'absence de mémoire : P(X > t + s | X > t) = P(X > s).
Ici t = 5 et t + s = 15, donc s = 10 :
P(X > 15 | X > 5) = P(X > 10) = e^(−2) ≈ 0,1353.
Remarque : on obtient exactement le même résultat qu'en a). Le moteur « ne vieillit pas » : après 5 ans de fonctionnement, la probabilité de tenir 10 ans de plus est la même que celle de tenir 10 ans dès le départ. C'est l'absence de mémoire de la loi exponentielle. - 3
À chaque tir, un archer atteint la cible avec probabilité p = 0,4, indépendamment des tirs. On note X le rang du premier tir réussi. Calcule la probabilité qu'il réussisse en 3 tirs ou moins, soit P(X ≤ 3).
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La durée de vie X (en années) d'un noyau radioactif suit une loi exponentielle de paramètre λ. On sait qu'un noyau a une probabilité 0,5 de s'être désintégré au bout de 1600 ans (c'est la demi-vie). a) Détermine λ. b) Calcule la probabilité qu'un noyau survive au-delà de 3200 ans.
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Le temps d'attente X, en minutes, avant d'être servi suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,3. Détermine le temps t tel que la probabilité d'avoir été servi avant t soit égale à 0,9, soit P(X ≤ t) = 0,9. Donne une valeur approchée à 10⁻³ près.
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On modélise la durée de vie X, en heures, d'un capteur par une loi exponentielle de paramètre λ. Un test montre que P(X > 2) = 0,7. a) Détermine λ (valeur approchée à 10⁻³ près). b) En déduire la durée de vie moyenne du capteur.
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À chaque tentative, un logiciel de reconnaissance réussit avec probabilité p = 0,05, indépendamment. On note X le rang de la première réussite. Détermine le plus petit nombre n de tentatives pour que la probabilité d'au moins une réussite dépasse 0,99, soit P(X ≤ n) ≥ 0,99.
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La durée de fonctionnement X, en jours, d'un appareil suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,1. Sachant que l'appareil fonctionne encore après 12 jours, calcule la probabilité qu'il fonctionne encore après 20 jours.
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À chaque lancer d'une pièce truquée, on obtient « pile » avec probabilité p = 0,25, indépendamment. On note X le rang du premier « pile ». a) Calcule P(X > 4). b) Sachant que les 4 premiers lancers ont donné « face », calcule P(X > 7 | X > 4).
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Deux modèles d'ampoules ont des durées de vie exponentielles (en heures) : le modèle A de paramètre λ_A = 0,08 et le modèle B de paramètre λ_B = 0,05. a) Calcule la durée de vie moyenne de chaque modèle. b) Pour chaque modèle, calcule la probabilité de dépasser 20 heures. c) Quel modèle est le plus fiable ?
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