Temps d'attente

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1
Dans une file d'attente, le temps X (en minutes) entre l'arrivée de deux clients suit une loi exponentielle. On observe que la probabilité qu'aucun client n'arrive pendant 5 minutes est 0,3.
Calcule $P(3 \le X \le 8)$ .
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a) « Aucun client pendant 5 minutes » se traduit par $X > 5$ , donc $P(X > 5) = 0{,}3$ , soit $e^{-5\lambda } = 0{,}3$ .
Au logarithme : $-5\lambda = \ln (0{,}3) \approx -1{,}2040$ , d'où $\lambda = \frac{1{,}2040}{5} \approx 0{,}241$ .
b) $E(X) = \frac{1}{\lambda } \approx \frac{1}{0{,}241} \approx 4{,}153$ minutes.
c) $P(X \le 2) = 1 - e^{-2\lambda } = 1 - e^{-0{,}4816} \approx 1 - 0{,}6178 = 0{,}3822$ .
d) $P(3 \le X \le 8) = e^{-3\lambda } - e^{-8\lambda } = e^{-0{,}7224} - e^{-1{,}9264} \approx 0{,}4856 - 0{,}1458 = 0{,}3398$ .
Donc $P(3 \le X \le 8) \approx 0{,}340$ .
2
Alice et Bob jouent chacun de leur côté. À chaque essai, Alice réussit avec probabilité $p_A = 0{,}2$ et Bob avec $p_B = 0{,}3$ , indépendamment. On note A et B le rang de leur premier succès respectif.
Calcule la probabilité qu'au moins un des deux ait réussi en 3 essais ou moins.
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a) A suit la loi géométrique de paramètre 0,2, avec $E(A) = \frac{1}{0{,}2} = 5$ . B suit la loi géométrique de paramètre 0,3, avec $E(B) = \frac{1}{0{,}3} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33$ .
b) $P(A > 3) = (0{,}8)^{3} = 0{,}512$ ; $P(B > 3) = (0{,}7)^{3} = 0{,}343$ .
c) « Aucun des deux n'a réussi en 3 essais » = « $A > 3$ et $B > 3$ ». Par indépendance :
P(A > 3 et B > 3) $= P(A > 3) \times P(B > 3) = 0{,}512 \times 0{,}343 \approx 0{,}1756$ .
d) « Au moins un a réussi en 3 essais ou moins » est le contraire de l'événement du c) :
$P = 1 - 0{,}1756 = 0{,}8244$ .
Donc environ 0,824.
3
Un système fonctionne tant que ses deux composants fonctionnent (montage en série). Les durées de vie X et Y (en années) des composants sont indépendantes et suivent des lois exponentielles de paramètres $\lambda _X = 0{,}1$ et $\lambda _Y = 0{,}15$ . On note $S = \min (X, Y)$ la durée de vie du système.
Calcule la probabilité que le système fonctionne encore après 4 ans.
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4
Une entreprise garantit un appareil : elle remplace gratuitement tout appareil tombant en panne pendant la garantie. La durée de vie X (en mois) suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}02$ .
Sachant qu'un appareil a dépassé la garantie de 6 mois, quelle est la probabilité qu'il dure encore plus de 24 mois au total ?
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5
Un jeu de grattage offre un gain avec la probabilité $p = \frac{1}{4}$ à chaque ticket, indépendamment des autres. Une personne achète des tickets un par un jusqu'à obtenir son premier gain. On note X le rang du premier ticket gagnant.
Sachant que les 2 premiers tickets sont perdants, calcule la probabilité qu'il faille encore au moins 4 tickets supplémentaires, soit $P(X > 6 | X > 2)$ .
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6
La durée X (en heures) d'une réparation suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}25$ .
Calcule $P(X \le 2 | X \le 8)$ .
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7
On étudie le temps d'attente d'un bus par deux modèles. Modèle 1 (discret) : on regarde toutes les 2 minutes ; à chaque observation le bus est présent avec probabilité $p = 0{,}25$ ; on note N le rang de la première observation où le bus est là. Modèle 2 (continu) : le temps d'attente T (en minutes) suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}125$ .
Dans chaque modèle, illustre l'absence de mémoire par un calcul.
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8
Un candidat passe un examen qu'il peut repasser autant de fois qu'il veut. À chaque tentative il réussit avec probabilité $p = 0{,}4$ , indépendamment. On note X le rang de la première réussite.
Sachant qu'il a échoué aux 2 premières tentatives, quelle est la probabilité qu'il réussisse à l'une des trois tentatives suivantes (tentatives 3, 4 ou 5) ?
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9
Le carbone 14 se désintègre selon une loi exponentielle. On note X la durée de vie (en années) d'un noyau, de paramètre λ. La demi-vie du carbone 14 est de 5730 ans (durée au bout de laquelle la moitié des noyaux se sont désintégrés).
Sachant qu'un noyau est encore intact après 5730 ans, quelle est la probabilité qu'il le soit encore 5730 ans plus tard ? Que révèle la réponse sur la loi exponentielle ?
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10
Un joueur mise à un jeu où il gagne à chaque partie avec probabilité $p = 0{,}1$ , indépendamment. On note X le rang de la première partie gagnée.
Sachant qu'il a perdu les 10 premières parties, combien de parties supplémentaires devra-t-il jouer en moyenne pour gagner ?
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