Temps d’attente

Un jeu de grattage offre un gain avec la probabilité p = $\frac{1}{4}$ à chaque ticket, indépendamment des autres. Une personne achète des tickets un par un jusqu'à obtenir son premier gain. On note X le rang du premier ticket gagnant. a) Justifie que X suit une loi géométrique et donne son paramètre. b) Calcule P(X = 4). c) Calcule P(X ≤ 3). d) Combien de tickets faut-il acheter en moyenne pour gagner ? e) Sachant que les 2 premiers tickets sont perdants, calcule la probabilité qu'il faille encore au moins 4 tickets supplémentaires, soit P(X > 6 | X > 2).

Le carbone 14 se désintègre selon une loi exponentielle. On note X la durée de vie (en années) d'un noyau, de paramètre λ. La demi-vie du carbone 14 est de 5730 ans (durée au bout de laquelle la moitié des noyaux se sont désintégrés). a) Détermine la valeur exacte de λ en fonction de ln 2, puis une valeur approchée. b) Calcule la probabilité qu'un noyau soit encore intact après 11460 ans. c) Quelle est la durée de vie moyenne d'un noyau ? d) Sachant qu'un noyau est encore intact après 5730 ans, quelle est la probabilité qu'il le soit encore 5730 ans plus tard ? Interprète.

Dans une file d'attente, le temps X (en minutes) entre l'arrivée de deux clients suit une loi exponentielle. On observe que la probabilité qu'aucun client n'arrive pendant 5 minutes est 0,3. a) Détermine λ (à 10⁻³ près). b) Calcule le temps moyen entre deux arrivées. c) Calcule la probabilité qu'un client arrive dans les 2 premières minutes. d) Calcule P(3 ≤ X ≤ 8).

Alice et Bob jouent chacun de leur côté. À chaque essai, Alice réussit avec probabilité $p_{A}$ = 0,2 et Bob avec $p_{B}$ = 0,3, indépendamment. On note A et B le rang de leur premier succès respectif. a) Donne la loi de A et de B, ainsi que E(A) et E(B). b) Calcule P(A > 3) et P(B > 3). c) En supposant A et B indépendantes, calcule la probabilité qu'aucun des deux n'ait réussi lors des 3 premiers essais. d) Calcule la probabilité qu'au moins un des deux ait réussi en 3 essais ou moins.

Une entreprise garantit un appareil : elle remplace gratuitement tout appareil tombant en panne pendant la garantie. La durée de vie X (en mois) suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0,02. a) Calcule la durée de vie moyenne. b) L'entreprise veut que la garantie couvre au plus 10 % des appareils, soit P(X ≤ t) ≤ 0,10. Détermine la durée maximale t (en mois). c) Avec une garantie de 6 mois, quelle proportion d'appareils sera remplacée ? d) Sachant qu'un appareil a dépassé la garantie de 6 mois, quelle est la probabilité qu'il dure encore plus de 24 mois au total ?

On étudie le temps d'attente d'un bus par deux modèles. Modèle 1 (discret) : on regarde toutes les 2 minutes ; à chaque observation le bus est présent avec probabilité p = 0,25 ; on note N le rang de la première observation où le bus est là. Modèle 2 (continu) : le temps d'attente T (en minutes) suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0,125. a) Dans le modèle 1, calcule E(N) puis le temps moyen d'attente en minutes. b) Dans le modèle 2, calcule E(T) et compare. c) Modèle 1 : calcule P(N > 3). d) Modèle 2 : calcule P(T > 6). e) Dans chaque modèle, illustre l'absence de mémoire par un calcul.

Un système fonctionne tant que ses deux composants fonctionnent (montage en série). Les durées de vie X et Y (en années) des composants sont indépendantes et suivent des lois exponentielles de paramètres λ_X = 0,1 et λ_Y = 0,15. On note S = min(X, Y) la durée de vie du système. a) Exprime P(S > t) en fonction de P(X > t) et P(Y > t), puis calcule-la. b) Montre que S suit une loi exponentielle et donne son paramètre. c) Calcule la durée de vie moyenne du système. d) Calcule la probabilité que le système fonctionne encore après 4 ans.

Un candidat passe un examen qu'il peut repasser autant de fois qu'il veut. À chaque tentative il réussit avec probabilité p = 0,4, indépendamment. On note X le rang de la première réussite. a) Donne la loi de X et E(X). b) Calcule la probabilité qu'il réussisse exactement à la 2ᵉ ou à la 3ᵉ tentative. c) Calcule la probabilité qu'il lui faille plus de 5 tentatives. d) Sachant qu'il a échoué aux 2 premières tentatives, quelle est la probabilité qu'il réussisse à l'une des trois tentatives suivantes (tentatives 3, 4 ou 5) ?

La durée X (en heures) d'une réparation suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0,25. a) Calcule le temps moyen de réparation E(X). b) Détermine la médiane m de X, c'est-à-dire le temps tel que P(X ≤ m) = 0,5. Compare avec la moyenne. c) Calcule la probabilité qu'une réparation dure plus longtemps que la moyenne, P(X > E(X)). d) Calcule P(X ≤ 2 | X ≤ 8).

Un joueur mise à un jeu où il gagne à chaque partie avec probabilité p = 0,1, indépendamment. On note X le rang de la première partie gagnée. a) Combien de parties faut-il jouer en moyenne pour gagner ? b) Calcule la probabilité de gagner en 5 parties ou moins. c) Détermine le nombre minimal n de parties à jouer pour que la probabilité de gagner au moins une fois dépasse 0,95. d) Le joueur joue exactement 10 parties : calcule la probabilité qu'il gagne au moins une fois et compare au seuil de 0,95. e) Sachant qu'il a perdu les 10 premières parties, combien de parties supplémentaires devra-t-il jouer en moyenne pour gagner ?