Temps d'attente

Le temps d'attente X, en minutes, à un guichet suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}04$. Quel est le temps d'attente moyen ?

La durée de vie moyenne d'un type de batterie est de 8 ans. On modélise cette durée de vie par une loi exponentielle. Détermine le paramètre λ de cette loi.

Pour un jeu, on estime qu'il faut en moyenne 5 essais pour gagner une première fois. En modélisant le rang du premier gain par une loi géométrique, détermine la probabilité de succès p à chaque essai.

On répète une expérience de Bernoulli de probabilité de succès $p = 0{,}25$ jusqu'au premier succès. On note X le rang du premier succès. Combien d'essais faut-il en moyenne pour obtenir ce premier succès ?

À chaque partie, un joueur a une probabilité $p = 0{,}1$ de gagner, indépendamment des autres parties. On note X le rang de la première partie gagnée. Calcule la probabilité que les 3 premières parties soient toutes perdues, c'est-à-dire $P(X > 3)$.

On tire, avec remise, des boules dans un sac où la probabilité de tirer une boule gagnante est $p = 0{,}2$. On note X le rang du premier tirage gagnant. Donne la loi de X, puis calcule $P(X = 3)$.

La durée de vie X, en heures, d'une ampoule suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}25$. Calcule la probabilité que l'ampoule fonctionne encore après 4 heures, soit $P(X > 4)$.

La durée X, en minutes, d'un appel téléphonique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}1$. Calcule la probabilité que l'appel dure entre 5 et 10 minutes, soit $P(5 \le X \le 10)$. Donne une valeur approchée à $10^{-4}$ près.

La durée de vie X, en années, d'un composant électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$. Calcule la probabilité que le composant tombe en panne avant 2 ans, soit $P(X \le 2)$. Donne une valeur approchée à $10^{-4}$ près.

Pour chacune des situations, indique si l'on modélise avec une loi géométrique (on compte des essais) ou une loi exponentielle (on mesure une durée) :
a) le nombre de fois où l'on relance un dé avant d'obtenir le premier 1 ;
b) la durée de fonctionnement, en heures, d'un disque dur avant sa première panne ;
c) le nombre de courriels envoyés avant d'obtenir une première réponse ;
d) le temps, en minutes, entre deux appels reçus par un standard.