Nombres complexes : forme algébrique

Soit $z = a + bi$ avec $a$ et $b$ réels.
a) Exprime $z + \overline{z}$ et $z - \overline{z}$.
b) Déduis-en une condition pour que $z$ soit réel, puis imaginaire pur.

Soit $Z = (x + 3i)(2 - i)$, où $x$ est réel.
a) Développe $Z$ sous forme algébrique.
b) Détermine $x$ pour que $Z$ soit un nombre réel, puis pour qu'il soit imaginaire pur.

Soit $Z = \frac{z - 1}{z + i}$, avec $z = 3 + 2i$.
a) Calcule $Z$ sous forme algébrique.
b) Détermine $|Z|$.

Soit $z = 5 - 12i$.
a) Écris $\frac{1}{z}$ sous forme algébrique.
b) Calcule $|z|$ et vérifie que $\left|\frac{1}{z}\right| = \frac{1}{|z|}$.

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{2} + 4z + 20 = 0$.
a) Donne les solutions sous forme algébrique.
b) Que peut-on dire de leurs modules ?

Écris sous forme algébrique le quotient $Z = \frac{3 + 2i}{1 - i}$.
a) Effectue le calcul.
b) Donne la partie réelle, la partie imaginaire et le module de $Z$.

Soit $z = 2 + 3i$ et $z' = 1 - 4i$.
a) Calcule $z + z'$, $z \times z'$ et $\overline{z}$.
b) Calcule $|z|$, $|z'|$ et vérifie que $|zz'| = |z| \times |z'|$.

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{2} - 6z + 13 = 0$.
a) Calcule le discriminant et conclus.
b) Donne les deux solutions et vérifie leur somme et leur produit.

Détermine, sous forme algébrique, les racines carrées complexes de $-8i$.
a) Pose $z = a + bi$ et écris le système obtenu.
b) Résous et donne les deux solutions.

On considère $z_1 = 1 + i$ et $z_2 = 1 - i$.
a) Calcule $z_1^{2}$, $z_2^{2}$ et $z_1 z_2$.
b) Déduis-en $z_1^{4}$ et $z_1^{8}$.