Nombres complexes : forme algébrique

🔴 Expert

📝 Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres corrigés détaillés sont réservés aux abonnés.

S'abonner ✨

1
Détermine, sous forme algébrique, les racines carrées complexes des nombres suivants (méthode par identification a² − b² et 2ab, avec l'aide du module) : a) 8 + 6i ; b) 5 − 12i ; c) −7 + 24i.
✅ Voir le corrigéoffert
Méthode générale : on cherche z = a + ib tel que z² = a² − b² + 2ab·i = X + iY. On utilise trois relations : a² − b² = X, 2ab = Y et a² + b² = |X + iY|. Les deux dernières fixent les signes.

a) X = 8, Y = 6. Module : √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.
a² − b² = 8 et a² + b² = 10 → a² = 9, b² = 1. Comme 2ab = 6 > 0, mêmes signes : a = 3, b = 1.
Racines : 3 + i et −(3 + i) = −3 − i. Vérif : (3 + i)² = 9 + 6i + i² = 8 + 6i. ✓

b) X = 5, Y = −12. Module : √(5² + 12²) = √169 = 13.
a² − b² = 5 et a² + b² = 13 → a² = 9, b² = 4. Comme 2ab = −12 < 0, signes opposés : a = 3, b = −2.
Racines : 3 − 2i et −3 + 2i. Vérif : (3 − 2i)² = 9 − 12i + 4i² = 5 − 12i. ✓

c) X = −7, Y = 24. Module : √((−7)² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25.
a² − b² = −7 et a² + b² = 25 → a² = 9, b² = 16. Comme 2ab = 24 > 0, mêmes signes : a = 3, b = 4.
Racines : 3 + 4i et −3 − 4i. Vérif : (3 + 4i)² = 9 + 24i + 16i² = −7 + 24i. ✓
2
Pour tout réel x, on pose Z(x) = $\frac{(x + i)}{(x - i)}$ . a) Écris Z sous forme algébrique (parties réelle et imaginaire en fonction de x). b) Pour quelles valeurs de x le nombre Z est-il réel ? c) Montre que |Z| = 1 pour tout x. d) Pour quelles valeurs de x le nombre Z est-il imaginaire pur ?
✅ Voir le corrigéoffert
a) On multiplie haut et bas par le conjugué x + i (le dénominateur x − i n'est jamais nul car x est réel).
Numérateur : (x + i)² = x² + 2xi + i² = x² − 1 + 2x·i.
Dénominateur : (x − i)(x + i) = x² + 1.
Donc Z = $\frac{(x^{2} - 1 + 2xi)}{(x^{2} + 1)}$ , soit Re(Z) = $\frac{(x^{2} - 1)}{(x^{2} + 1)}$ et Im(Z) = $\frac{2x}{(x^{2} + 1)}$ .

b) Z réel ⟺ Im(Z) = 0 ⟺ $\frac{2x}{(x^{2} + 1)}$ = 0 ⟺ 2x = 0 ⟺ x = 0.
Alors Z = $\frac{(0 - 1)}{(0 + 1)}$ = −1.

c) |Z| = $\frac{|x + i|}{|x - i|}$ = $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ = 1 pour tout réel x.

d) Z imaginaire pur ⟺ Re(Z) = 0 ⟺ $\frac{(x^{2} - 1)}{(x^{2} + 1)}$ = 0 ⟺ x² − 1 = 0 ⟺ x = 1 ou x = −1.
Vérification pour x = 1 : Z = $\frac{(1 + i)}{(1 - i)}$ = $\frac{(1 + i)^{2}}{2}$ = $\frac{2i}{2}$ = i, bien imaginaire pur. ✓
3
On considère P(z) = z³ − 3z² + 4z − 12. a) Montre que 3 est une solution de P(z) = 0. b) Détermine les réels a et b tels que, pour tout z, P(z) = (z − 3)(z² + az + b). c) Résous dans ℂ l'équation P(z) = 0.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
4
Soit z = a + ib (a, b réels). a) Démontre les identités z + z̄ = 2Re(z) et z − z̄ = 2i·Im(z). b) Traduis en termes de z et z̄ le fait que z est réel, puis le fait que z est imaginaire pur. c) Déduis-en l'ensemble des complexes z vérifiant z² = z̄², et décris cet ensemble dans le plan.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
5
On pose z = $\frac{(1 + i)}{(1 - i)}$ . a) Écris z sous forme algébrique. b) Déduis-en z²⁰²⁶. c) Détermine, selon le reste de n modulo 4, la forme algébrique de zⁿ pour tout entier naturel n.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
6
Soit z = a + ib un complexe non nul, et w = z + $\frac{1}{z}$ . a) Écris $\frac{1}{z}$ sous forme algébrique. b) Détermine tous les z pour lesquels w est réel. c) Décris géométriquement l'ensemble de ces points.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
7
Pour tout réel m, on considère l'équation ( $E_{m}$ ) : z² − 2m·z + (m² + 4) = 0. a) Calcule le discriminant et montre qu'il est strictement négatif quel que soit m. b) Résous ( $E_{m}$ ) dans ℂ. c) Lorsque m parcourt ℝ, décris l'ensemble des points images des solutions.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
8
a) Calcule la somme S = 1 + i + i² + i³ + … + i²⁰²⁶ (somme des puissances de i de l'exposant 0 à 2026). b) Déduis-en 1 + i + i² + … + i²⁰²⁷. c) Calcule (1 + i)² puis déduis-en (1 + i)²⁰²⁶ sous forme algébrique.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
9
Dans le plan complexe, on note M le point d'affixe z = x + iy. Détermine et décris l'ensemble (E) des points M tels que |z − 2i| = |z − 4|. a) Interprète chaque membre comme une distance. b) Établis l'équation cartésienne de (E). c) Reconnais la nature de (E).
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
10
Pour z ≠ 1, on pose f(z) = $\frac{(z + 2i)}{(z - 1)}$ . a) Résous l'équation f(z) = i. b) On pose z = x + iy. Détermine l'ensemble des points M(z) pour lesquels f(z) est réel. c) Décris géométriquement cet ensemble.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →

Comment ça s'est passé ?

Retrouve tout dans Mon suivi.

← Changer de niveau