Nombres complexes : forme algébrique

a) $\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^{2}} = \frac{(a - ib)}{(a^{2} + b^{2})} = \frac{a}{(a^{2} + b^{2})} - \frac{b}{(a^{2} + b^{2})}i$.

b) $w = z + \frac{1}{z} = (a + ib) + (\frac{a}{(a^{2} + b^{2})} - \frac{b}{(a^{2} + b^{2})}i)$.
Partie imaginaire : $Im(w) = b - \frac{b}{(a^{2} + b^{2})} = b(1 - \frac{1}{(a^{2} + b^{2})}) = b \times \frac{(a^{2} + b^{2} - 1)}{(a^{2} + b^{2})}$.
w est réel ⟺ $Im(w) = 0$ ⟺ $b = 0 OU a^{2} + b^{2} = 1$.
• $b = 0$ : z est réel (non nul) ;
• $a^{2} + b^{2} = 1$ : $|z| = 1$.

c) L'ensemble est la réunion de l'axe des réels (privé de O) et du cercle de centre O et de rayon 1 (le cercle unité).
Vérification sur le cercle : pour $z = i$, $w = i + \frac{1}{i} = i + (-i) = 0$, qui est bien réel.

a) Coefficients réels : $a = 1$, $b = -2m$, $c = m^{2} + 4$.
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2m)^{2} - 4\times 1\times (m^{2} + 4) = 4m^{2} - 4m^{2} - 16 = -16$.
Donc $\Delta = -16 < 0$ pour tout m : l'équation a toujours deux solutions complexes conjuguées.

b) $\sqrt{-\Delta } = \sqrt{16} = 4$, donc $z = \frac{(-b \pm i\sqrt{-\Delta })}{(2a)} = \frac{(2m \pm 4i)}{2} = m \pm 2i$.
Solutions : $z_{1} = m + 2i$ et $z_{2} = m - 2i$.

c) Le point image de $z_{1} = m + 2i$ a pour coordonnées $(m \,;\, 2)$ : quand m varie dans ℝ, il décrit la droite horizontale d'équation $y = 2$. De même, $z_{2} = m - 2i$ décrit la droite $y = -2$.
L'ensemble cherché est donc la réunion des deux droites d'équations $Im = 2$ et $Im = -2$ (parallèles à l'axe des réels).