Nombres complexes : forme algébrique

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1
Écris l'inverse de $z = 3 + 4i$ sous forme algébrique.
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Méthode : pour inverser, on multiplie haut et bas par le conjugué $\overline{z} = 3 - 4i$ , car $z \times \overline{z} = |z|^{2}$ est un réel.
$\frac{1}{z} = \frac{1}{(3 + 4i)} = \frac{(3 - 4i)}{((3 + 4i)(3 - 4i))}$ .
Dénominateur : $(3 + 4i)(3 - 4i) = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ .
Donc $\frac{1}{z} = \frac{(3 - 4i)}{25} = \frac{3}{25} - \frac{4}{25}i$ .
Pour en être sûr : $z \times \frac{1}{z} = \frac{(3 + 4i)(3 - 4i)}{25} = \frac{25}{25} = 1$ .
2
Détermine le nombre réel x pour que $Z = (x + 2i)(3 - i)$ soit un nombre réel.
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On développe Z pour isoler ses parties réelle et imaginaire.
$Z = (x + 2i)(3 - i) = 3x - xi + 6i - 2i^{2} = 3x + 2 + (-x + 6)i$ .
Donc $Re(Z) = 3x + 2$ et $Im(Z) = -x + 6$ .
Z est réel ⟺ $Im(Z) = 0$ ⟺ $-x + 6 = 0$ ⟺ $x = 6$ .
Pour en être sûr : pour $x = 6$ , $Z = (6 + 2i)(3 - i) = 18 - 6i + 6i - 2i^{2} = 18 + 2 = 20$ , qui est bien réel.
3
Écris sous forme algébrique le quotient $\frac{(2 + i)}{(1 - 3i)}$ .
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4
Calcule $(1 - i)^{6}$ sous forme algébrique.
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5
Résous dans ℂ l'équation $2z^{2} - 4z + 5 = 0$ .
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6
Résous dans ℂ l'équation $2z + \overline{z} = 9 - i$ , d'inconnue le complexe z.
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7
Soit m un nombre réel et l'équation $(E_m)$ : $z^{2} + 2z + m = 0$ .
a) Pour quelles valeurs de m l'équation a-t-elle deux solutions complexes non réelles ?
b) Donne alors ces solutions en fonction de m.
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8
Détermine, sous forme algébrique, les racines carrées complexes de 2i (c'est-à-dire tous les z tels que $z^{2} = 2i$ ).
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9
Soit $Z = \frac{(2 + i)}{(2 - i)}$ .
a) Écris Z sous forme algébrique.
b) Montre que $|Z| = 1$ .
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10
Détermine, sous forme algébrique, les nombres z tels que $z^{2} = -5 + 12i$ .
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