Nombres complexes : forme algébrique
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Écris l'inverse de z = 3 + 4i sous forme algébrique.
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Méthode : pour inverser, on multiplie haut et bas par le conjugué z̄ = 3 − 4i, car z × z̄ = |z|² est un réel.
= = .
Dénominateur : (3 + 4i)(3 − 4i) = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
Donc = = − i.
Vérification : z × = = = 1. ✓ - 2
Écris sous forme algébrique le quotient .
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On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur, soit 1 + 3i.
Numérateur : (2 + i)(1 + 3i) = 2 + 6i + i + 3i² = 2 + 7i − 3 = −1 + 7i.
Dénominateur : (1 − 3i)(1 + 3i) = 1² + 3² = 1 + 9 = 10.
Donc = = − + i.
On a bien obtenu une forme algébrique a + ib avec a = − et b = . - 3
Résous dans ℂ l'équation 2z² − 4z + 5 = 0.
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Détermine le nombre réel x pour que Z = (x + 2i)(3 − i) soit un nombre réel.
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Détermine, sous forme algébrique, les racines carrées complexes de 2i (c'est-à-dire tous les z tels que z² = 2i).
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Calcule (1 − i)⁶ sous forme algébrique.
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Détermine, sous forme algébrique, les nombres z tels que z² = −5 + 12i.
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Résous dans ℂ l'équation 2z + z̄ = 9 − i, d'inconnue le complexe z.
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Soit Z = . a) Écris Z sous forme algébrique. b) Montre que |Z| = 1.
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Soit m un nombre réel et l'équation () : z² + 2z + m = 0. a) Pour quelles valeurs de m l'équation a-t-elle deux solutions complexes non réelles ? b) Donne alors ces solutions en fonction de m.
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