Nombres complexes et géométrie

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1
Dans le plan complexe, on donne $A$ d'affixe $a = 2 + i$ et $B$ d'affixe $b = -1 + 5i$ .
a) Calcule l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et la distance AB.
b) Détermine l'affixe du milieu I de $[AB]$ .
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a) L'affixe de $\overrightarrow{AB}$ est $b - a = (-1 + 5i) - (2 + i) = -3 + 4i$ .
$AB = |b - a| = \sqrt{(-3)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$ .

b) L'affixe du milieu est la moyenne des affixes.
$z_{I} = \frac{a + b}{2} = \frac{(2 + i) + (-1 + 5i)}{2} = \frac{1 + 6i}{2} = 0{,}5 + 3i$ .
2
Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{2}$ .
a) Donne l'écriture complexe de $r$ .
b) Détermine l'image du point A d'affixe $3 - 2i$ , puis vérifie que $OA = OA'$ .
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a) La rotation de centre O et d'angle $\theta$ s'écrit $z' = e^{i\theta}z$ .
Ici $\theta = \frac{\pi}{2}$ et $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$ , donc $z' = iz$ .

b) $z_{A'} = i(3 - 2i) = 3i - 2i^{2} = 2 + 3i$ .
$OA = |3 - 2i| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ .
$OA' = |2 + 3i| = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ .
Les deux distances sont égales : une rotation conserve bien les longueurs.
3
Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ d'affixe $1 + i$ et de rapport 3.
a) Donne l'écriture complexe de $h$ .
b) Détermine l'image du point B d'affixe $2 - i$ .
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4
On donne $A(1 + 2i)$ , $B(4 + i)$ et $C(3 + 4i)$ dans le plan complexe.
a) Calcule $\dfrac{c - a}{b - a}$ .
b) Déduis-en la nature du triangle ABC.
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5
Soit $r$ la rotation de centre $\Omega$ d'affixe $i$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ .
a) Donne son écriture complexe.
b) Détermine l'image du point A d'affixe 2, puis la nature du triangle $\Omega A A'$ .
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6
On donne $A(2i)$ , $B(3 + i)$ et $C(1 - i)$ .
a) Calcule les affixes de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
b) Les points A, B et C sont-ils alignés ?
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7
Soit $t$ la translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $2 - 3i$ .
a) Donne l'écriture complexe de $t$ , et l'image de $M(1 + i)$ .
b) Quelle transformation obtient-on en composant $t$ avec la translation de vecteur d'affixe $-2 + 3i$ ?
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8
On donne $A(1)$ , $B(i)$ et $C(-1)$ sur le cercle de centre O et de rayon 1.
a) Calcule $\dfrac{c - b}{a - b}$ .
b) Déduis-en la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ , et retrouve un résultat de géométrie connu.
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9
Dans le plan complexe, on donne A d'affixe $a = -2 + 3i$ et B d'affixe $b = 4 - i$ .
a) Calcule l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et la distance AB.
b) Détermine l'affixe du milieu I de $[AB]$ .
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10
Soit $h$ l'homothétie de centre O et de rapport 3, suivie de la translation de vecteur d'affixe $2 - i$ .
a) Donne l'écriture complexe de cette transformation.
b) Détermine l'image du point d'affixe $1 + 2i$ .
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