Nombres complexes et géométrie

Dans le plan complexe direct, on donne A d'affixe 1 + 2i et B d'affixe 4 + i. On construit le carré ABCD dont les sommets A, B, C, D sont dans le sens direct (sens trigonométrique).
a) En utilisant une rotation de centre A et d'angle $\frac{\pi }{2}$, déterminer l'affixe du point D.
b) En déduire l'affixe du point C.
c) Déterminer l'affixe du centre du carré et vérifier le résultat de deux façons, puis justifier que ABCD est bien un carré.

On donne A d'affixe 0 et B d'affixe 2.
a) Déterminer les affixes des deux points C et C' tels que le triangle ABC (resp. ABC') soit équilatéral.
b) Vérifier pour l'un d'eux que les trois côtés ont la même longueur.
c) Pour le triangle direct (celui dont le sommet est au-dessus de l'axe des réels), déterminer l'affixe du centre de gravité G, puis vérifier que G est aussi le centre du cercle circonscrit.

Soit ω = e^(i·$\frac{2\pi }{5}$).
a) Justifier que 1 + ω + ω² + ω³ + ω⁴ = 0.
b) En prenant la partie réelle de cette égalité, démontrer que cos($\frac{2\pi }{5}$) + cos($\frac{4\pi }{5}$) = −$\frac{1}{2}$.
c) On admet de plus que cos($\frac{2\pi }{5}$) × cos($\frac{4\pi }{5}$) = −$\frac{1}{4}$. En déduire les valeurs exactes de cos($\frac{2\pi }{5}$) et cos($\frac{4\pi }{5}$).

À tout point M d'affixe z (avec z ≠ 1 et z ≠ i) on associe le nombre Z = $\frac{z - 1}{z - i}$. On note A le point d'affixe 1 et B le point d'affixe i.
a) Interpréter géométriquement un argument de Z.
b) Déterminer et caractériser l'ensemble (E1) des points M tels que Z soit réel.
c) Déterminer et caractériser l'ensemble (E2) des points M tels que Z soit imaginaire pur.

Soit r la rotation de centre Ω d'affixe 1 + i et d'angle $\frac{\pi }{2}$.
a) Montrer que l'écriture complexe de r est z' = iz + 2.
b) Déterminer l'affixe de l'image du point A d'affixe 3.
c) Déterminer l'écriture complexe de r∘r (r appliquée deux fois) et reconnaître la nature de cette transformation.
d) En déduire, sans nouveau calcul, la nature de r∘r∘r∘r.

On note $A_{0}$, $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ les images des racines quatrièmes de l'unité 1, i, −1, −i, le point $A_{0}$ ayant pour affixe 1.
a) Calculer les trois distances $A_{0A}$_1, $A_{0A}$_2 et $A_{0A}$_3.
b) Calculer le produit P = $A_{0A}$_1 × $A_{0A}$_2 × $A_{0A}$_3.
c) On note plus généralement, pour n ≥ 2, ω_k = e^(i·$\frac{2k\pi }{n}$) les racines n-ièmes de l'unité. En factorisant Xⁿ − 1, démontrer que le produit des distances du sommet d'affixe 1 aux (n − 1) autres sommets vaut n, puis vérifier la cohérence avec b).

On considère les points A d'affixe −1 + i, B d'affixe 2 + 2i et C d'affixe −2 + 4i.
a) Calculer les longueurs AB, AC et BC.
b) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A en utilisant un quotient d'affixes.
c) En déduire l'aire du triangle, puis l'affixe du centre et le rayon de son cercle circonscrit.

On veut résoudre dans ℂ l'équation (E) : (z − i)³ = (z + i)³.
a) Justifier que z = −i n'est pas solution, puis montrer que (E) équivaut à w³ = 1 avec w = $\frac{z - i}{z + i}$.
b) Résoudre w³ = 1 et montrer que la valeur w = 1 ne fournit aucune solution.
c) Résoudre l'équation pour les deux autres valeurs de w et donner les solutions de (E).

On note j = e^(i·$\frac{2\pi }{3}$). Soit A le point d'affixe 2. On définit B comme l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\frac{2\pi }{3}$, et C comme l'image de B par cette même rotation.
a) Déterminer les affixes de B et de C.
b) Démontrer que le triangle ABC est équilatéral et préciser la longueur de son côté.
c) Démontrer que O est le centre de gravité du triangle ABC.

Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z = x + iy (x, y réels) vérifiant les deux conditions suivantes, puis donner les affixes des points obtenus.
a) Condition 1 : |z − 1| = |z − i|. Caractériser géométriquement cet ensemble et donner son équation cartésienne.
b) Condition 2 : |z − (2 + i)| = √5. Caractériser cet ensemble.
c) Déterminer les points M vérifiant les deux conditions à la fois.