Nombres complexes et géométrie

À tout point M d'affixe z (avec $z \ne 1$ et $z \ne i$) on associe le nombre $Z = \frac{z - 1}{z - i}$. On note A le point d'affixe 1 et B le point d'affixe i.
Déterminer et caractériser l'ensemble (E2) des points M tels que Z soit imaginaire pur.

On considère les points A d'affixe $-1 + i$, B d'affixe $2 + 2i$ et C d'affixe $-2 + 4i$.
Calcule l'aire du triangle ABC, puis l'affixe du centre et le rayon de son cercle circonscrit.

Déterminer l'ensemble des points M d'affixe $z = x + iy$ (x, y réels) vérifiant les deux conditions suivantes, puis donner les affixes des points obtenus.
a) Condition 1 : $|z - 1| = |z - i|$. Caractériser géométriquement cet ensemble et donner son équation cartésienne.
b) Condition 2 : $|z - (2 + i)| = \sqrt{5}$. Caractériser cet ensemble.
c) Déterminer les points M vérifiant les deux conditions à la fois.

On veut résoudre dans ℂ l'équation (E) : $(z - i)^{3} = (z + i)^{3}$.
Résoudre l'équation pour les deux autres valeurs de w et donner les solutions de (E).

Soit r la rotation de centre Ω d'affixe $1 + i$ et d'angle $\frac{\pi }{2}$.
Quelle est la nature de r∘r∘r∘r ? Justifie sans nouveau calcul.

On note $j = e^{i\cdot \frac{2\pi }{3}}$. Soit A le point d'affixe 2. On définit B comme l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\frac{2\pi }{3}$, et C comme l'image de B par cette même rotation.
Démontrer que O est le centre de gravité du triangle ABC.

Dans le plan complexe direct, on donne A d'affixe $1 + 2i$ et B d'affixe $4 + i$. On construit le carré ABCD dont les sommets A, B, C, D sont dans le sens direct (sens trigonométrique).
Déterminer l'affixe du centre du carré, et justifier que ABCD est bien un carré.

Soit $\omega = e^{i\cdot \frac{2\pi }{5}}$.
On admet de plus que $\cos (\frac{2\pi }{5}) \times \cos (\frac{4\pi }{5}) = -\frac{1}{4}$. Calculer les valeurs exactes de $\cos (\frac{2\pi }{5})$ et $\cos (\frac{4\pi }{5})$.

On donne A d'affixe 0 et B d'affixe 2.
Pour le triangle direct (sommet au-dessus de l'axe des réels), déterminer l'affixe du centre de gravité G, et montrer que G est aussi le centre du cercle circonscrit.

On note $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ les images des racines quatrièmes de l'unité 1, i, $-1$, $-i$, le point $A_0$ ayant pour affixe 1.
Pour $n \ge 2$, on note $\omega _k = e^{i\cdot \frac{2k\pi }{n}}$ les racines n-ièmes de l'unité. En factorisant $X^{n} - 1$, démontrer que le produit des distances du sommet d'affixe 1 aux $(n - 1)$ autres sommets vaut n, puis contrôler avec le cas $n = 4$.