Nombres complexes et géométrie

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1
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct, on donne A d'affixe −1 + 2i et B d'affixe 3 − i.
a) Déterminer l'affixe du vecteur AB.
b) Calculer la distance AB.
c) Déterminer l'affixe du milieu I de [AB].
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a) L'affixe d'un vecteur AB est $z_{B}$ − $z_{A}$ .
$z_{AB}$ = (3 − i) − (−1 + 2i) = 3 − i + 1 − 2i = 4 − 3i.
b) La distance AB est le module de $z_{AB}$ : AB = |4 − 3i| = √(4² + (−3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5.
c) L'affixe du milieu est la demi-somme : $z_{I}$ = $\frac{z_A + z_B}{2}$ = $\frac{(-1 + 2i) + (3 - i)}{2}$ = $\frac{2 + i}{2}$ = 1 + $\frac{1}{2}$ i.
Vérification : on doit avoir $z_{I}$ − $z_{A}$ = $z_{B}$ − $z_{I}$ . Ici $z_{I}$ − $z_{A}$ = 2 − $\frac{3}{2}$ i et $z_{B}$ − $z_{I}$ = 2 − $\frac{3}{2}$ i : les deux sont égaux, donc I est bien le milieu.
2
On considère les points A d'affixe 2 + 3i et B d'affixe −2 + 6i. Calculer la distance AB.
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On calcule d'abord l'affixe du vecteur AB : $z_{AB}$ = $z_{B}$ − $z_{A}$ = (−2 + 6i) − (2 + 3i) = −4 + 3i.
La distance est le module de ce nombre :
AB = |−4 + 3i| = √((−4)² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.
La distance AB vaut donc 5.
3
Le point I d'affixe 3 + i est le milieu du segment [AB]. Sachant que A a pour affixe 1 − 2i, déterminer l'affixe du point B.
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4
On donne A d'affixe 1 + i, B d'affixe 4 + i et C d'affixe 1 + 4i. Déterminer une mesure de l'angle orienté (AB ; AC) et en déduire la nature de l'angle en A.
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5
On considère les points A d'affixe 2 + i, B d'affixe 4 + 2i et C d'affixe 8 + 4i. Démontrer que les points A, B et C sont alignés.
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6
On donne A d'affixe 1 + 2i, B d'affixe 4 + 3i et C d'affixe 5i. Démontrer que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
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7
On considère les points A d'affixe 0, B d'affixe 4 et C d'affixe 2 + 2i. Démontrer que le triangle ABC est isocèle en C.
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8
Résoudre dans ℂ l'équation z³ = 1. On donnera les solutions sous forme exponentielle, puis on vérifiera que leur somme est nulle.
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9
a) Résoudre dans ℂ l'équation z⁴ = 1.
b) Placer les images des solutions dans le plan complexe et préciser la nature du polygone qu'elles forment.
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10
Soit t la translation de vecteur w d'affixe 2 − 3i.
a) Donner l'écriture complexe de t (l'affixe z' de l'image M' d'un point M d'affixe z).
b) Déterminer l'affixe de l'image du point A d'affixe 1 + i.
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