Nombres complexes et géométrie

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1
Dans le plan complexe, O est l'origine. On donne B d'affixe $2 + i$ et C d'affixe $m + 2i$ , où m est un nombre réel. Déterminer m pour que les droites (OB) et (OC) soient perpendiculaires.
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Comme le sommet commun est O (origine), $z_{OB} = z_B = 2 + i$ et $z_{OC} = z_C = m + 2i$ .
(OB) ⊥ (OC) si et seulement si le quotient $\frac{z_{OC}}{z_{OB}}$ est un imaginaire pur. C'est le cas lorsque le produit $z_{OC}$ × conjugué( $z_{OB}$ ) est imaginaire pur (il a le même argument, à π près).
$z_{OC}$ × conjugué( $z_{OB}$ ) $= (m + 2i)(2 - i) = 2m - m i + 4i - 2i^{2} = (2m + 2) + (4 - m)i$ .
Ce nombre est imaginaire pur lorsque sa partie réelle est nulle : $2m + 2 = 0$ , donc $m = -1$ .
Pour vérifier : pour $m = -1$ , C a pour affixe $-1 + 2i$ et $\frac{z_{OC}}{z_{OB}} = \frac{-1 + 2i}{2 + i} = \frac{(-1 + 2i)(2 - i)}{5} = \frac{5i}{5} = i$ , imaginaire pur : les droites sont bien perpendiculaires.
2
On considère les points A d'affixe 0, B d'affixe 2 et C d'affixe $1 + i\sqrt{3}$ . Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.
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On calcule les trois longueurs à l'aide des modules.
$AB = |z_B - z_A| = |2| = 2$ .
$AC = |z_C - z_A| = |1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1^{2} + (√3)^{2}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$ .
$BC = |z_C - z_B| = |(1 + i\sqrt{3}) - 2| = |-1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{(-1)^{2} + (√3)^{2}} = \sqrt{1 + 3} = 2$ .
On a $AB = AC = BC = 2$ , donc le triangle ABC est équilatéral.
3
On donne A d'affixe $1 + i$ , B d'affixe $4 + 2i$ , C d'affixe $5 + 5i$ et D d'affixe $2 + 4i$ . Démontrer que ABCD est un parallélogramme.
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4
On considère la transformation du plan qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe $z' = iz + 3 - i$ . Reconnaître la nature de cette transformation et préciser ses éléments caractéristiques.
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5
Soit r la rotation de centre Ω d'affixe i et d'angle $\frac{\pi }{2}$ .
a) Donner l'écriture complexe de r sous la forme $z' = az + b$ .
b) Déterminer l'affixe de l'image du point A d'affixe 1.
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6
On donne A d'affixe $1 + i$ , B d'affixe $3 + 2i$ et C d'affixe $m + 3i$ , où m est un nombre réel. Déterminer la valeur de m pour laquelle les points A, B et C sont alignés.
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7
Soit r la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi }{2}$ .
a) Donner l'écriture complexe de r.
b) Déterminer l'affixe de l'image A' du point A d'affixe $2 + 3i$ .
c) Vérifier que $OA = OA'$ .
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8
Soit $\omega = e^{i\cdot \frac{2\pi }{5}}$ . On admet que 1, ω, ω², ω³, ω⁴ sont les cinq racines cinquièmes de l'unité. Démontrer que $1 + \omega + \omega ^{2} + \omega ^{3} + \omega ^{4} = 0$ .
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9
Soit h l'homothétie de centre Ω d'affixe $1 + i$ et de rapport 2.
a) Donner l'écriture complexe de h.
b) Déterminer l'affixe de l'image A' du point A d'affixe $3 + 2i$ .
c) Vérifier que Ω, A et A' sont alignés.
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10
a) Résoudre dans ℂ l'équation $z^{6} = 1$ (racines sixièmes de l'unité), sous forme exponentielle et algébrique.
b) Que peut-on dire des images de ces solutions dans le plan complexe ?
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