Nombres complexes et géométrie

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1
Soit h l'homothétie de centre Ω d'affixe 1 + i et de rapport 2.
a) Donner l'écriture complexe de h.
b) Déterminer l'affixe de l'image A' du point A d'affixe 3 + 2i.
c) Vérifier que Ω, A et A' sont alignés.
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a) L'homothétie de centre Ω (affixe ω) et de rapport k a pour écriture complexe z' − ω = k(z − ω), soit z' = k(z − ω) + ω.
Ici z' = 2(z − (1 + i)) + (1 + i) = 2z − 2(1 + i) + (1 + i) = 2z − (1 + i).
b) Pour z = 3 + 2i : z' = 2(3 + 2i) − (1 + i) = 6 + 4i − 1 − i = 5 + 3i.
c) z_ΩA = $z_{A}$ − ω = (3 + 2i) − (1 + i) = 2 + i.
z_ΩA' = $z_{A}$ ' − ω = (5 + 3i) − (1 + i) = 4 + 2i = 2(2 + i).
Le quotient $\frac{z_ΩA'}{z_ΩA}$ = 2 est réel, donc Ω, A et A' sont alignés (le centre, un point et son image par une homothétie sont toujours alignés).
2
Soit r la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi }{2}$ .
a) Donner l'écriture complexe de r.
b) Déterminer l'affixe de l'image A' du point A d'affixe 2 + 3i.
c) Vérifier que OA = OA'.
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a) La rotation de centre O et d'angle θ a pour écriture complexe z' = e^(iθ) z. Ici e^(i· $\frac{\pi }{2}$ ) = i, donc z' = i z.
b) Pour z = 2 + 3i : z' = i(2 + 3i) = 2i + 3i² = −3 + 2i.
c) OA = |2 + 3i| = √(4 + 9) = √13 et OA' = |−3 + 2i| = √(9 + 4) = √13.
On a OA = OA' = √13 : c'est cohérent car une rotation conserve les distances au centre.
Vérification de l'angle : $\frac{z_A'}{z_A}$ = $\frac{-3 + 2i}{2 + 3i}$ = i, d'argument $\frac{\pi }{2}$ , donc (OA ; OA') = $\frac{\pi }{2}$ .
3
Soit r la rotation de centre Ω d'affixe i et d'angle $\frac{\pi }{2}$ .
a) Donner l'écriture complexe de r sous la forme z' = az + b.
b) Déterminer l'affixe de l'image du point A d'affixe 1.
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4
On donne A d'affixe 1 + i, B d'affixe 4 + 2i, C d'affixe 5 + 5i et D d'affixe 2 + 4i. Démontrer que ABCD est un parallélogramme.
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5
On considère les points A d'affixe 0, B d'affixe 2 et C d'affixe 1 + i√3. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.
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6
On donne A d'affixe 1 + i, B d'affixe 3 + 2i et C d'affixe m + 3i, où m est un nombre réel. Déterminer la valeur de m pour laquelle les points A, B et C sont alignés.
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7
Dans le plan complexe, O est l'origine. On donne B d'affixe 2 + i et C d'affixe m + 2i, où m est un nombre réel. Déterminer m pour que les droites (OB) et (OC) soient perpendiculaires.
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8
a) Résoudre dans ℂ l'équation z⁶ = 1 (racines sixièmes de l'unité), sous forme exponentielle et algébrique.
b) Que peut-on dire des images de ces solutions dans le plan complexe ?
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9
Soit ω = e^(i· $\frac{2\pi }{5}$ ). On admet que 1, ω, ω², ω³, ω⁴ sont les cinq racines cinquièmes de l'unité. Démontrer que 1 + ω + ω² + ω³ + ω⁴ = 0.
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10
On considère la transformation du plan qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' = iz + 3 − i. Reconnaître la nature de cette transformation et préciser ses éléments caractéristiques.
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