Nombres complexes : forme trigonométrique et exponentielle

On pose $z = 3e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
a) Donne la forme algébrique de $z$.
b) Donne le module et un argument de $\bar{z}$ et de $\dfrac{1}{z}$.

a) Écris $e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $e^{-i\frac{\pi}{3}}$ sous forme algébrique.
b) Déduis-en la valeur de $e^{i\frac{\pi}{3}} + e^{-i\frac{\pi}{3}}$, et retrouve la formule d'Euler pour le cosinus.

On pose $z = -1 + i$.
a) Écris $z$ sous forme exponentielle.
b) Calcule $z^{8}$ et donne le résultat sous forme algébrique.

On pose $z = \dfrac{2}{1 + i\sqrt{3}}$.
a) Écris $z$ sous forme algébrique.
b) Donne son module et un argument.

On pose $z = 1 + i\sqrt{3}$.
a) Détermine le module et un argument de $z$, puis écris $z$ sous forme exponentielle.
b) Calcule $z^{6}$.

a) Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{2} = -9$.
b) Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{2} - 2z + 5 = 0$.

On pose $z = -\sqrt{3} + i$.
a) Détermine le module et un argument de $z$, puis écris $z$ sous forme exponentielle.
b) Calcule $z^{4}$.

On pose $z_{1} = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $z_{2} = 3e^{-i\frac{\pi}{6}}$.
a) Calcule $z_{1}z_{2}$ et $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ sous forme exponentielle.
b) Donne le module et un argument de $z_{1}^{3}$.

On pose $z = \dfrac{1 + i}{1 - i}$.
a) Écris $z$ sous forme algébrique.
b) Donne son module et un argument, puis calcule $z^{2025}$.

On pose $z_{n} = \left(e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^{n}$ pour $n$ entier naturel.
a) Calcule $z_{3}$, $z_{6}$ et $z_{12}$.
b) Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $z_{n} = 1$ ?