Nombres complexes : forme trigonométrique et exponentielle

a) $|8i| = 8$ et $\text{arg}(8i) = \frac{\pi }{2}$ (imaginaire pur positif). Donc $8i = 8\cdot e^{i\frac{\pi }{2}}$.
b) On cherche $z = r\cdot e^{i\varphi }$ avec $z^{3} = r^{3}\cdot e^{3i\varphi } = 8\cdot e^{i\frac{\pi }{2}}$.
Donc $r^{3} = 8$, soit $r = 2$, et $3\varphi = \frac{\pi }{2} + 2k\pi$, soit $\varphi = \frac{\pi }{6} + \frac{2k\pi }{3}$, $k = 0$, 1, 2.
$k = 0$ : $z_{0} = 2\cdot e^{i\frac{\pi }{6}} = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} + i$.
$k = 1$ : $z_{1} = 2\cdot e^{i\frac{5\pi }{6}} = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} + i$.
$k = 2$ : $z_{2} = 2\cdot e^{i\frac{3\pi }{2}} = 2(0 - i) = -2i$.
c) $z_{0} + z_{1} + z_{2} = (\sqrt{3} + i) + (-\sqrt{3} + i) + (-2i) = 2i - 2i = 0$.

a) Module : $|z| = \sqrt{1 + 3} = 2$. Argument : $\cos \theta = \frac{1}{2}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\theta = \frac{\pi }{3}$. Ainsi $z = 2\cdot e^{i\frac{\pi }{3}}$.
b) $z^{2024} = 2^{2024}\cdot e^{i\cdot 2024\cdot \frac{\pi }{3}} = 2^{2024}\cdot e^{i\frac{2024\pi }{3}}$.
On réduit $\frac{2024\pi }{3}$ modulo 2π. Comme $2\pi = \frac{6\pi }{3}$, on cherche le reste de 2024 dans la division par 6 : $2024 = 6 \times 337 + 2$, donc $\frac{2024\pi }{3} = 337\cdot 2\pi + \frac{2\pi }{3} \equiv \frac{2\pi }{3} (\text{mod} 2\pi )$.
$z^{2024} = 2^{2024}\cdot e^{i\frac{2\pi }{3}} = 2^{2024}(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2^{2023} + i\cdot 2^{2023}\sqrt{3}$.
c) $z^{n} = 2^{n}\cdot e^{i\cdot n\frac{\pi }{3}}$ ; il est réel si et seulement si son argument $n\cdot \frac{\pi }{3} \equiv 0 (\text{mod} \pi )$,
c'est-à-dire $\frac{n}{3}$ entier, soit n multiple de 3.
Contrôle : $z^{3} = 2^{3}\cdot e^{i\pi } = 8\cdot (-1) = -8$, qui est bien réel.