Nombres complexes : forme trigonométrique et exponentielle

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Racines sixièmes de l'unité.
a) Résoudre dans ℂ l'équation z⁶ = 1 et donner les six solutions sous forme exponentielle puis algébrique.
b) Montrer que la somme des six solutions est nulle.
c) En déduire que cos( $\frac{\pi }{3}$ ) + cos( $\frac{2\pi }{3}$ ) + cos( $\frac{4\pi }{3}$ ) + cos( $\frac{5\pi }{3}$ ) = 0.
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a) Les solutions sont $z_{k}$ = e^(i $\frac{2k\pi }{6}$ ) = e^(i $\frac{k\pi }{3}$ ) pour k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
z₀ = 1 ; z₁ = e^(i $\frac{\pi }{3}$ ) = $\frac{1}{2}$ + i $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; z₂ = e^(i $\frac{2\pi }{3}$ ) = − $\frac{1}{2}$ + i $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; z₃ = e^(iπ) = −1 ; z₄ = e^(i $\frac{4\pi }{3}$ ) = − $\frac{1}{2}$ − i $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; z₅ = e^(i $\frac{5\pi }{3}$ ) = $\frac{1}{2}$ − i $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
b) Posons ω = e^(i $\frac{\pi }{3}$ ). Alors $z_{k}$ = ωᵏ et la somme vaut S = 1 + ω + ω² + ω³ + ω⁴ + ω⁵.
Comme ω ≠ 1, c'est une somme géométrique : S = $\frac{ω^{6} - 1}{ω - 1}$ .
Or ω⁶ = (e^(i $\frac{\pi }{3}$ ))⁶ = e^(i2π) = 1, donc le numérateur ω⁶ − 1 = 0, d'où S = 0.
c) La partie réelle de S est aussi nulle :
Re(S) = 1 + cos( $\frac{\pi }{3}$ ) + cos( $\frac{2\pi }{3}$ ) + cos(π) + cos( $\frac{4\pi }{3}$ ) + cos( $\frac{5\pi }{3}$ ) = 0.
Comme cos(π) = −1, il reste : cos( $\frac{\pi }{3}$ ) + cos( $\frac{2\pi }{3}$ ) + cos( $\frac{4\pi }{3}$ ) + cos( $\frac{5\pi }{3}$ ) = 0.
Vérification : $\frac{1}{2}$ − $\frac{1}{2}$ − $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = 0. ✓
2
Formules de triplication.
a) En développant (cos θ + i·sin θ)³, montrer que cos(3θ) = 4cos³θ − 3cos θ.
b) Montrer de même que sin(3θ) = 3sin θ − 4sin³θ.
c) En déduire que tan(3θ) = $\frac{3tan \theta - tan^{3}\theta }{1 - 3tan^{2}\theta }$ (là où tout est défini).
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a) D'après Moivre, (cos θ + i·sin θ)³ = cos(3θ) + i·sin(3θ).
Développons avec le binôme, en notant c = cos θ et s = sin θ :
(c + i·s)³ = c³ + 3c²(i·s) + 3c(i·s)² + (i·s)³ = c³ + 3i·c²s − 3c·s² − i·s³.
Partie réelle : cos(3θ) = c³ − 3c·s² = c³ − 3c(1 − c²) = c³ − 3c + 3c³ = 4c³ − 3c.
Donc cos(3θ) = 4cos³θ − 3cos θ.
b) Partie imaginaire : sin(3θ) = 3c²s − s³ = 3(1 − s²)s − s³ = 3s − 3s³ − s³ = 3s − 4s³.
Donc sin(3θ) = 3sin θ − 4sin³θ.
c) tan(3θ) = $\frac{sin(3\theta )}{cos(3\theta )}$ = $\frac{3sin \theta - 4sin^{3}\theta }{4cos^{3}\theta - 3cos \theta }$ .
Divisons numérateur et dénominateur par cos³θ (non nul) :
numérateur : $\frac{3sin \theta - 4sin^{3}\theta }{cos^{3}\theta }$ = 3tan θ(1 + tan²θ) − 4tan³θ = 3tan θ − tan³θ ;
dénominateur : $\frac{4cos^{3}\theta - 3cos \theta }{cos^{3}\theta }$ = 4 − 3(1 + tan²θ) = 1 − 3tan²θ.
Donc tan(3θ) = $\frac{3tan \theta - tan^{3}\theta }{1 - 3tan^{2}\theta }$ .
3
Linéarisation de cos⁴θ.
a) À l'aide de la formule d'Euler cos θ = $\frac{e^(i\theta ) + e^(-i\theta )}{2}$ , montrer que cos⁴θ = $\frac{1}{8}$ (cos(4θ) + 4cos(2θ) + 3).
b) Vérifier la formule obtenue pour θ = $\frac{\pi }{4}$ .
c) En déduire la valeur exacte de cos⁴( $\frac{\pi }{12}$ ).
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Somme de cosinus. Soit n un entier ≥ 1 et θ un réel tel que θ ≢ 0 (mod 2π). On pose S = 1 + cos θ + cos(2θ) + ... + cos(nθ).
a) On pose Z = 1 + e^(iθ) + e^(2iθ) + ... + e^(inθ). Justifier que Z = $\frac{e^(i(n+1)\theta ) - 1}{e^(i\theta ) - 1}$ .
b) Montrer que Z = e^(i·nθ/2) · [ sin((n+1)θ/2) / sin(θ/2) ].
c) En déduire que S = cos(nθ/2) · [ sin((n+1)θ/2) / sin(θ/2) ].
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5
Résolution de z³ = 8i.
a) Écrire 8i sous forme exponentielle.
b) Résoudre dans ℂ l'équation z³ = 8i et donner les solutions sous forme algébrique.
c) Vérifier que la somme des trois solutions est nulle.
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6
Valeur exacte de cos( $\frac{2\pi }{5}$ ). On pose ω = e^(i $\frac{2\pi }{5}$ ).
a) Montrer que 1 + ω + ω² + ω³ + ω⁴ = 0.
b) En prenant la partie réelle, montrer que cos( $\frac{2\pi }{5}$ ) + cos( $\frac{4\pi }{5}$ ) = − $\frac{1}{2}$ .
c) Sachant que cos( $\frac{4\pi }{5}$ ) = 2cos²( $\frac{2\pi }{5}$ ) − 1, en déduire la valeur exacte de cos( $\frac{2\pi }{5}$ ).
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Soit θ ∈ ]− $\frac{\pi }{2}$ ; $\frac{\pi }{2}$ [.
a) Montrer que 1 + i·tan θ = $\frac{e^(i\theta )}{cos \theta }$ .
b) En déduire que $\frac{1 + i\cdot tan \theta }{1 - i\cdot tan \theta }$ = e^(2iθ).
c) Application : en déduire la valeur de ((1 + i·tan( $\frac{\pi }{8}$ )) / (1 − i·tan( $\frac{\pi }{8}$ )))².
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Racines carrées de −5 + 12i.
a) Déterminer le module de −5 + 12i, puis, sachant que z² = −5 + 12i, en déduire |z|.
b) En posant z = a + i·b (a, b réels), résoudre le système obtenu et donner les deux racines carrées de −5 + 12i.
c) Vérifier l'un des résultats par le calcul direct de z².
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Soit z un complexe de module 1 (z ∈ 𝕌).
a) Montrer que $\frac{1}{z}$ = z̄ (conjugué de z).
b) On écrit z = e^(iθ) avec θ ∈ ]−π ; π[. Montrer que $\frac{z - 1}{z + 1}$ = i·tan( $\frac{\theta }{2}$ ) (pour z ≠ −1).
c) En déduire que, pour tout z ∈ 𝕌 avec z ≠ −1, le nombre $\frac{z - 1}{z + 1}$ est un imaginaire pur.
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10
Soit z = 1 + i√3.
a) Écrire z sous forme exponentielle.
b) Calculer z²⁰²⁴ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
c) Déterminer tous les entiers n pour lesquels zⁿ est un réel.
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