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Nombres complexes : forme trigonométrique et exponentielle

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  1. 1

    Donner la forme algébrique de z=3⋅eiπz = 3\cdot e^{i\pi }.

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    On utilise eiθ=cos⁡θ+i⋅sin⁡θe^{i\theta } = \cos \theta + i\cdot \sin \theta.
    z=3(cos⁡π+i⋅sin⁡π)=3(−1+i⋅0)=−3z = 3(\cos \pi + i\cdot \sin \pi ) = 3(-1 + i\cdot 0) = -3.
    Donc z=−3z = -3.

  2. 2

    Écrire z=1+iz = 1 + i sous forme exponentielle.

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    On calcule le module : r=∣z∣=12+12=2r = |z| = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}.
    On cherche θ=arg(z)\theta = \text{arg}(z) : cos⁡θ=12=22\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} et sin⁡θ=12=22\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
    Ces deux conditions donnent θ=π4\theta = \frac{\pi }{4}.
    Donc z=2⋅eiπ4z = \sqrt{2}\cdot e^{i\frac{\pi }{4}}.

  3. 3

    Déterminer le module du nombre complexe z=−7+24iz = -7 + 24i.

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  4. 4

    Écrire z=−3+iz = -\sqrt{3} + i sous forme exponentielle.

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  5. 5

    Déterminer le module et un argument de z=−4z = -4.

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  6. 6

    Donner la forme algébrique de z=2⋅e−iπ/3z = 2\cdot e^{-i\pi /3}.

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  7. 7

    Déterminer le module du nombre complexe z=6−8iz = 6 - 8i.

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  8. 8

    Déterminer le module et un argument de z=5iz = 5i.

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  9. 9

    Calculer (cos⁡(π12)+i⋅sin⁡(π12))6(\cos (\frac{\pi }{12}) + i\cdot \sin (\frac{\pi }{12}))^{6}.

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  10. 10

    On donne ∣z1∣=3|z_{1}| = 3, arg(z1)=π4\text{arg}(z_{1}) = \frac{\pi }{4} et ∣z2∣=2|z_{2}| = 2, arg(z2)=π12\text{arg}(z_{2}) = \frac{\pi }{12}. Déterminer le module et un argument de z1⋅z2z_{1}\cdot z_{2}.

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