Nombres complexes : forme trigonométrique et exponentielle

🟡 Moyen

📝 Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres corrigés détaillés sont réservés aux abonnés.

S'abonner ✨

1
Simplifier z = $\frac{1 + i}{1 - i}$ , puis donner son module et un argument.
✅ Voir le corrigéoffert
On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de 1 − i, c'est-à-dire 1 + i.
z = $\frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}$ .
Numérateur : (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i.
Dénominateur : (1 − i)(1 + i) = 1² − i² = 1 + 1 = 2.
Donc z = $\frac{2i}{2}$ = i.
Module : |z| = |i| = 1. Argument : arg(i) = $\frac{\pi }{2}$ (mod 2π).
2
Calculer (1 + i)⁸.
✅ Voir le corrigéoffert
On passe par la forme exponentielle : 1 + i = √2·e^(i $\frac{\pi }{4}$ ) (module √2, argument $\frac{\pi }{4}$ ).
(1 + i)⁸ = (√2)⁸·e^(i·8· $\frac{\pi }{4}$ ) = (√2)⁸·e^(i2π).
Or (√2)⁸ = 2⁴ = 16 et e^(i2π) = 1.
Donc (1 + i)⁸ = 16.
3
Calculer (1 − i√3)⁶.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
4
Écrire z = $\frac{\sqrt{3} + i}{1 + i}$ sous forme exponentielle.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
5
Résoudre dans ℂ l'équation z³ = 1.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
6
Résoudre dans ℂ l'équation z⁴ = 1.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
7
Écrire z = −1 − i sous forme exponentielle, puis calculer (−1 − i)¹⁰.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
8
À l'aide des formules d'Euler, linéariser sin²θ (c'est-à-dire l'exprimer sans puissance).
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
9
Déterminer le module et un argument de z = $\frac{1 + i\sqrt{3}}{\sqrt{3} - i}$ .
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
10
Soit z = 1 + i. Déterminer le plus petit entier n ≥ 1 tel que zⁿ soit un réel strictement positif.
🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →

Comment ça s'est passé ?

Retrouve tout dans Mon suivi.

← Changer de niveau