Nombres complexes : forme trigonométrique et exponentielle

On passe par la forme exponentielle : $1 + i = \sqrt{2}\cdot e^{i\frac{\pi }{4}}$ (module $\sqrt{2}$, argument $\frac{\pi }{4}$).
$(1 + i)^{8} = (\sqrt{2})^{8}\cdot e^{i\cdot 8\cdot \frac{\pi }{4}} = (\sqrt{2})^{8}\cdot e^{i2\pi }$.
Or $(\sqrt{2})^{8} = 2^{4} = 16$ et $e^{i2\pi } = 1$.
Donc $(1 + i)^{8} = 16$.

Numérateur : $1 + i\sqrt{3}$ a pour module 2, $\cos \theta = \frac{1}{2}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, argument $\frac{\pi }{3}$. Donc $1 + i\sqrt{3} = 2\cdot e^{i\frac{\pi }{3}}$.
Dénominateur : $\sqrt{3} - i$ a pour module 2, $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \theta = -\frac{1}{2}$, argument $-\frac{\pi }{6}$. Donc $\sqrt{3} - i = 2\cdot e^{-i\frac{\pi }{6}}$.
Quotient : module $= \frac{2}{2} = 1$ ; argument $= \frac{\pi }{3} - (-\frac{\pi }{6}) = \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{6} = \frac{2\pi }{6} + \frac{\pi }{6} = \frac{3\pi }{6} = \frac{\pi }{2}$.
Donc $z = e^{i\frac{\pi }{2}} = i$ : $|z| = 1$ et $\text{arg}(z) = \frac{\pi }{2}$.