Calcul matriciel

🟠 Difficile

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1
On donne $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .
a) Justifie que $A$ est inversible et détermine $A^{-1}$ .
b) Vérifie ton résultat en calculant $A \times A^{-1}$ .
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a) Le déterminant vaut $\det(A) = 3 \times 2 - 5 \times 1 = 1$ .
Il est non nul : $A$ est inversible.
Pour une matrice $2 \times 2$ , $A^{-1} = \frac{1}{\det}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ .
Donc $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ .

b) $A \times A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 \times 2 + 5 \times (-1) & 3 \times (-5) + 5 \times 3 \\ 1 \times 2 + 2 \times (-1) & 1 \times (-5) + 2 \times 3 \end{pmatrix}$ .
$= \begin{pmatrix} 6 - 5 & -15 + 15 \\ 2 - 2 & -5 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ✓.
On obtient bien la matrice identité $I$ .
On peut aussi vérifier dans l'autre sens : $A^{-1}A = I$ également.
Pour une matrice carrée, les deux produits donnent toujours le même résultat.
Le déterminant valant 1, aucun coefficient fractionnaire n'apparaît ici.
2
On considère le système $\begin{cases} 3x + 5y = 11 \\ x + 2y = 4 \end{cases}$ .
a) Écris-le sous la forme $AX = B$ .
b) Résous-le à l'aide de $A^{-1}$ .
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a) $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 11 \\ 4 \end{pmatrix}$ .

b) $\det(A) = 1$ , donc $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ .
$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 \times 11 - 5 \times 4 \\ -11 + 3 \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
Donc $x = 2$ et $y = 1$ .
Contrôle : $3 \times 2 + 5 \times 1 = 11$ ✓ et $2 + 2 \times 1 = 4$ ✓.
La méthode matricielle a l'avantage d'être systématique.
Une fois $A^{-1}$ connue, on résout instantanément le système pour n'importe quel second membre B.
Par exemple avec $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ : $X = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}$ .
C'est tout l'intérêt de calculer l'inverse plutôt que de résoudre à la main.
3
On donne $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule son déterminant et conclus.
b) Le système $\begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ x + 2y = 3 \end{cases}$ a-t-il des solutions ?
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4
On donne $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $AB$ et $BA$ .
b) Le produit matriciel est-il commutatif ?
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5
On considère $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $A^{2}$ et $A^{3}$ .
b) Conjecture une formule pour $A^{n}$ .
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6
On donne $A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .
a) Détermine $A^{-1}$ .
b) Résous $\begin{cases} 4x + 7y = 1 \\ x + 2y = 0 \end{cases}$ .
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7
On donne $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ et $P_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $P_1 = P_0 M$ et $P_2 = P_1 M$ .
b) Vérifie que la somme des coefficients de chaque état vaut 1.
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8
On donne $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $\det(A)$ et $A^{-1}$ .
b) Résous $\begin{cases} x + 3y = 7 \\ 2x + 5y = 11 \end{cases}$ .
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9
Soit $I$ la matrice identité d'ordre 2 et $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $A^{2}$ et $7A - 10I$ .
b) Que remarques-tu ? Déduis-en une expression de $A^{-1}$ .
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10
On donne $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $A^{2}$ et $A^{4}$ .
b) Déduis-en $A^{8}$ et $A^{-1}$ .
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