Calcul matriciel

🟠 Difficile

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1
On donne $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $A^{2}$ et $A^{4}$ .
b) Déduis-en $A^{8}$ et $A^{-1}$ .
Voir le corrigéoffert
a) $A^{2} = \begin{pmatrix} 1 - 1 & -1 - 1 \\ 1 + 1 & -1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ .
$A^{4} = (A^{2})^{2} = \begin{pmatrix} 0 - 4 & 0 \\ 0 & -4 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} = -4I$ .

b) $A^{8} = (A^{4})^{2} = 16I$ .
De $A^{4} = -4I$ , on tire $A \times \frac{A^{3}}{-4} = I$ , donc $A^{-1} = -\frac{A^{3}}{4}$ .
On peut aussi appliquer la formule usuelle : $\det(A) = 1 + 1 = 2$ .
Donc $A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ .
Contrôle : $A A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + 1 & 1 - 1 \\ 1 - 1 & 1 + 1 \end{pmatrix} = I$ .
La relation $A^{4} = -4I$ signifie que $A$ agit comme une rotation d'un huitième de tour.
Huit applications ramènent donc à un simple agrandissement, ce que confirme $A^{8} = 16I$ .
2
On donne $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $\det(A)$ et $A^{-1}$ .
b) Résous $\begin{cases} x + 3y = 7 \\ 2x + 5y = 11 \end{cases}$ .
Voir le corrigéoffert
a) $\det(A) = 5 - 6 = -1$ .
$A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ .

b) $X = A^{-1}\begin{pmatrix} 7 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -35 + 33 \\ 14 - 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
Donc $x = -2$ et $y = 3$ .
Contrôle : $-2 + 3 \times 3 = 7$ ✓ et $2 \times (-2) + 5 \times 3 = 11$ .
Un déterminant négatif ne pose aucun problème : seule sa nullité empêcherait l'inversion.
Ici le facteur $\frac{1}{-1}$ change simplement tous les signes.
On peut vérifier l'inverse : $A A^{-1} = \begin{pmatrix} -5 + 6 & 3 - 3 \\ -10 + 10 & 6 - 5 \end{pmatrix} = I$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
On donne $A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .
a) Détermine $A^{-1}$ .
b) Résous $\begin{cases} 4x + 7y = 1 \\ x + 2y = 0 \end{cases}$ .
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4
On considère $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $A^{2}$ et $A^{3}$ .
b) Conjecture une formule pour $A^{n}$ .
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5
On donne $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $AB$ et $BA$ .
b) Le produit matriciel est-il commutatif ?
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6
On considère le système $\begin{cases} 3x + 5y = 11 \\ x + 2y = 4 \end{cases}$ .
a) Écris-le sous la forme $AX = B$ .
b) Résous-le à l'aide de $A^{-1}$ .
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7
On donne $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .
a) Justifie que $A$ est inversible et détermine $A^{-1}$ .
b) Vérifie ton résultat en calculant $A \times A^{-1}$ .
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8
On donne $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ et $P_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $P_1 = P_0 M$ et $P_2 = P_1 M$ .
b) Vérifie que la somme des coefficients de chaque état vaut 1.
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9
On donne $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule son déterminant et conclus.
b) Le système $\begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ x + 2y = 3 \end{cases}$ a-t-il des solutions ?
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10
Soit $I$ la matrice identité d'ordre 2 et $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule $A^{2}$ et $7A - 10I$ .
b) Que remarques-tu ? Déduis-en une expression de $A^{-1}$ .
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