Calcul matriciel

On donne $A = \begin{pmatrix} m & 4 \\ 1 & m \end{pmatrix}$ où m est un réel.
a) Calcule det A en fonction de m.
b) Pour quelles valeurs de m la matrice A n'est-elle pas inversible ?

On donne $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Résous l'équation matricielle $A X = B$, d'inconnue la matrice X de format $2\times 2$.

On donne $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
a) Calcule $A^{2}$, $A^{3}$ et $A^{4}$.
b) Quelle formule peux-tu conjecturer pour $A^{n} (n \ge 1)$ ?

On donne $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$.
a) Justifie que A est inversible.
b) Détermine A⁻¹.
c) Vérifie ton résultat en calculant A A⁻¹.

On donne $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & -\frac{5}{2} \\ -1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$. Montre, en calculant le produit AB, que $B = A^{-1}$.

On donne $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$.
a) Quel est le format de A, celui de B, et celui de AB ?
b) Calcule AB.

Résous le système suivant en l'écrivant sous la forme matricielle $A X = B$, puis en utilisant A⁻¹ :
$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x + 4y = 5 \end{cases}$

On donne $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
a) Calcule $A^{2}$ et $A^{3}$.
b) Conjecture $A^{n} (n \ge 1)$ et démontre-la par récurrence.

Dans une boulangerie, 3 croissants et 2 pains au chocolat coûtent 5,40 € ; 2 croissants et 5 pains au chocolat coûtent 8,00 €. On note x le prix d'un croissant et y celui d'un pain au chocolat.
a) Écris le système sous forme matricielle $A X = B$.
b) Résous-le à l'aide de A⁻¹ et donne le prix de chaque pâtisserie.

On donne $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$.
a) Calcule $A^{2}$ et $A^{3}$.
b) Conjecture une formule pour $A^{n} (n \ge 1)$.
c) Démontre cette formule par récurrence.