Calcul matriciel

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1
On donne A = $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ .
a) Justifie que A est inversible.
b) Détermine A⁻¹.
c) Vérifie ton résultat en calculant A A⁻¹.
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a) det A = 2×4 − 3×1 = 8 − 3 = 5 ≠ 0, donc A est inversible.
b) A⁻¹ = $\frac{1}{5}$ × $\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}$ .
c) Vérification : A A⁻¹ = $\frac{1}{5}$ × ( $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ × $\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ ).
Ligne 1 : (2×4+3×(−1) ; 2×(−3)+3×2) = (8−3 ; −6+6) = (5 ; 0).
Ligne 2 : (1×4+4×(−1) ; 1×(−3)+4×2) = (4−4 ; −3+8) = (0 ; 5).
Donc A A⁻¹ = $\frac{1}{5}$ × $\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ = I₂. ✓
2
Résous le système suivant en l'écrivant sous la forme matricielle A X = B, puis en utilisant A⁻¹ :
$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x + 4y = 5 \end{cases}$
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On pose A = $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ , X = [x ; y] et B = [5 ; 5] ; le système s'écrit A X = B.
det A = 2×4 − 3×1 = 5 ≠ 0, donc A est inversible et X = A⁻¹ B.
A⁻¹ = $\frac{1}{5}$ × $\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ .
X = $\frac{1}{5}$ × $\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ × [5 ; 5]
= $\frac{1}{5}$ × $\begin{pmatrix} 4\times 5 & + & (-3)\times 5 \\ (-1)\times 5 & + & 2\times 5 \end{pmatrix}$
= $\frac{1}{5}$ × $\begin{pmatrix} 20 & - & 15 \\ -5 & + & 10 \end{pmatrix}$
= $\frac{1}{5}$ × [5 ; 5] = [1 ; 1].
Donc x = 1 et y = 1.
Vérification : 2×1 + 3×1 = 5 ✓ et 1 + 4×1 = 5 ✓.
3
On donne A = $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule A², A³ et A⁴.
b) Quelle formule peux-tu conjecturer pour Aⁿ (n ≥ 1) ?
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4
On donne A = $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ et B = $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ .
a) Quel est le format de A, celui de B, et celui de AB ?
b) Calcule AB.
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5
On donne A = $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule A² et A³.
b) Conjecture une formule pour Aⁿ (n ≥ 1).
c) Démontre cette formule par récurrence.
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6
On donne A = $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule A² et A³.
b) Conjecture Aⁿ (n ≥ 1) et démontre-la par récurrence.
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7
On donne A = $\begin{pmatrix} m & 4 \\ 1 & m \end{pmatrix}$ où m est un réel.
a) Calcule det A en fonction de m.
b) Pour quelles valeurs de m la matrice A n'est-elle pas inversible ?
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8
On donne A = $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ et B = $\begin{pmatrix} 2 & -\frac{5}{2} \\ -1 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$ . Montre, en calculant le produit AB, que B = A⁻¹.
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9
On donne A = $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ et B = $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Résous l'équation matricielle A X = B, d'inconnue la matrice X de format 2×2.
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10
Dans une boulangerie, 3 croissants et 2 pains au chocolat coûtent 5,40 € ; 2 croissants et 5 pains au chocolat coûtent 8,00 €. On note x le prix d'un croissant et y celui d'un pain au chocolat.
a) Écris le système sous forme matricielle A X = B.
b) Résous-le à l'aide de A⁻¹ et donne le prix de chaque pâtisserie.
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