Calcul matriciel

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1
On donne $A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ . La matrice A est-elle inversible ? Justifie.
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On calcule le déterminant : $\det A = 2\times 3 - 6\times 1 = 6 - 6 = 0$ .
Une matrice $2\times 2$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Ici $\det A = 0$ , donc A n'est pas inversible.
(Remarque : la deuxième ligne est le triple de la première, ce qui explique que le déterminant s'annule.)
2
On donne $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$ . Calcule 3A.
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Pour multiplier une matrice par le réel 3, on multiplie chacun de ses coefficients par 3.
$3A = \begin{pmatrix} 3\times 1 & 3\times (-2) \\ 3\times 4 & 3\times 0 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 0 \end{pmatrix}$ .
Conclusion : $3A = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 0 \end{pmatrix}$ .
3
On donne $A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}$ . Calcule $A + B$ .
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4
On donne $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ et $X = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ . Calcule le produit A X.
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5
On donne $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule le déterminant de A.
b) La matrice A est-elle inversible ?
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6
On donne $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ . Calcule $2A - B$ .
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7
On considère la matrice $M = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 7 \\ 0 & 5 & -1 \end{pmatrix}$ .
a) Donne le format de M.
b) Quel est le coefficient $m_{2}$ ,₃ ?
c) Quel est le coefficient $m_{1}$ ,₂ ?
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8
Détermine les réels x et y pour que l'égalité suivante soit vraie :
$\begin{pmatrix} x+1 & 4 \\ 3 & y-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ .
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9
On donne $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule det A.
b) Détermine la matrice inverse A⁻¹.
c) Vérifie que $A A^{-1} = I_{2}$ .
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10
On donne $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule AB.
b) Calcule BA.
c) Que constate-t-on ?
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