Calcul matriciel

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1
On considère A = $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule A² et A³.
b) Conjecture une expression de Aⁿ pour n ≥ 1.
c) Démontre cette conjecture par récurrence.
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a) A² = A×A : Ligne 1 : (3×3+1×0 ; 3×1+1×2) = (9 ; 5). Ligne 2 : (0 ; 2×2) = (0 ; 4). Donc A² = $\begin{pmatrix} 9 & 5 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ .
A³ = A²×A : Ligne 1 : (9×3+5×0 ; 9×1+5×2) = (27 ; 19). Ligne 2 : (0 ; 8). Donc A³ = $\begin{pmatrix} 27 & 19 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$ .
b) On observe : le coefficient (1,1) donne 3, 9, 27, soit 3ⁿ ; le coefficient (2,2) donne 2, 4, 8, soit 2ⁿ ; le coefficient (1,2) donne 1, 5, 19, ce qui est exactement 3ⁿ − 2ⁿ. On conjecture donc Aⁿ = $\begin{pmatrix} 3^{n} & 3^{n}-2^{n} \\ 0 & 2^{n} \end{pmatrix}$ .
c) Notons P(n) : « Aⁿ = $\begin{pmatrix} 3^{n} & 3^{n}-2^{n} \\ 0 & 2^{n} \end{pmatrix}$ ».
Initialisation : n = 1 donne $\begin{pmatrix} 3 & 3-2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ = A. Vrai.
Hérédité : supposons P(n). Alors Aⁿ⁺¹ = Aⁿ×A = $\begin{pmatrix} 3^{n} & 3^{n}-2^{n} \\ 0 & 2^{n} \end{pmatrix}$ × $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .
(1,1) : 3ⁿ×3 + (3ⁿ−2ⁿ)×0 = 3ⁿ⁺¹.
(1,2) : 3ⁿ×1 + (3ⁿ−2ⁿ)×2 = 3ⁿ + 2×3ⁿ − 2×2ⁿ = 3×3ⁿ − 2ⁿ⁺¹ = 3ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺¹.
(2,1) : 0. (2,2) : 2ⁿ×2 = 2ⁿ⁺¹.
Donc Aⁿ⁺¹ = $\begin{pmatrix} 3^{n+1} & 3^{n+1}-2^{n+1} \\ 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix}$ : P(n+1) vraie.
Conclusion : Aⁿ = $\begin{pmatrix} 3^{n} & 3^{n}-2^{n} \\ 0 & 2^{n} \end{pmatrix}$ pour tout n ≥ 1.
2
On considère A = $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule A².
b) Montre que A² = 2A.
c) Démontre par récurrence que, pour tout n ≥ 1, Aⁿ = 2ⁿ⁻¹ A.
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a) A² : (1,1) = 1×1+1×1 = 2 ; (1,2) = 1×1+1×1 = 2 ; (2,1) = 2 ; (2,2) = 2. Donc A² = $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ .
b) 2A = $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ = A². Donc A² = 2A.
c) Notons P(n) : « Aⁿ = 2ⁿ⁻¹ A ».
Initialisation : n = 1 : 2⁰ A = 1×A = A = A¹. Vrai.
Hérédité : supposons Aⁿ = 2ⁿ⁻¹ A. Alors :
Aⁿ⁺¹ = Aⁿ × A = (2ⁿ⁻¹ A) × A = 2ⁿ⁻¹ (A×A) = 2ⁿ⁻¹ × A² = 2ⁿ⁻¹ × 2A = 2ⁿ A.
Or 2ⁿ = 2⁽ⁿ⁺¹⁾⁻¹, donc Aⁿ⁺¹ = 2⁽ⁿ⁺¹⁾⁻¹ A : P(n+1) vraie.
Conclusion : Aⁿ = 2ⁿ⁻¹ A pour tout n ≥ 1.
(On a utilisé que la multiplication par le réel 2ⁿ⁻¹ se combine librement avec le produit matriciel.)
3
On considère A = $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ et I = I₂.
a) Calcule A² et vérifie que A² = 4A − 3I.
b) En déduire, à partir de cette relation, l'inverse A⁻¹ de A.
c) Calcule A³ en utilisant la relation du a).
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4
On considère le système, d'inconnues x et y, dépendant du paramètre réel m :
$\begin{cases} m x + y = 1 \\ x + m y = m \end{cases}$
a) Écris-le sous forme A X = B et calcule det A.
b) Pour quelles valeurs de m le système admet-il une unique solution ? La calculer alors.
c) Étudie les cas m = 1 et m = −1.
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5
On pose F = $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . La suite de Fibonacci est définie par F₀ = 0, F₁ = 1 et Fₖ₊₁ = Fₖ + Fₖ₋₁.
a) Calcule F² et F³ (puissances de la matrice).
b) Démontre par récurrence que, pour tout n ≥ 1, Fⁿ = $\begin{pmatrix} F_{n+1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n-1} \end{pmatrix}$ .
c) En calculant le déterminant de Fⁿ de deux façons, établis l'identité Fₙ₊₁ Fₙ₋₁ − Fₙ² = (−1)ⁿ.
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6
On pose R = $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
a) Calcule R², R³ et R⁴.
b) Que vaut R⁴ ? En déduire que les puissances de R se répètent avec une période de 4.
c) Calcule R²⁰²⁶.
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7
On considère A = $\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et I = I₂.
a) Calcule A² et vérifie que A² = 5A − 6I.
b) En déduire A⁻¹ sous la forme $\frac{1}{6}$ (5I − A), puis donne ses coefficients.
c) Montre que A³ = 19A − 30I, et donne la matrice A³.
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8
Deux villages A et B comptent au total 900 habitants. Chaque année, 10 % des habitants de A partent vers B et 20 % des habitants de B partent vers A (les autres restent). On note aₙ et bₙ les effectifs après n années et Uₙ = [aₙ ; bₙ].
a) Justifie que Uₙ₊₁ = M Uₙ avec M = $\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ .
b) On part de U₀ = [500 ; 400]. Calcule U₁ et U₂.
c) Détermine l'état stable, c'est-à-dire les effectifs (a ; b) avec a + b = 900 vérifiant M [a ; b] = [a ; b].
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9
On considère A = $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et une matrice quelconque M = $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ .
a) Calcule AM et MA.
b) Détermine toutes les matrices M qui commutent avec A (c'est-à-dire telles que AM = MA).
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10
On définit la suite (uₙ) par u₀ = 0, u₁ = 1 et, pour tout n, uₙ₊₂ = 3uₙ₊₁ − 2uₙ. On pose Uₙ = [uₙ₊₁ ; uₙ] et A = $\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
a) Montre que Uₙ₊₁ = A Uₙ pour tout n.
b) Calcule u₂, u₃ et u₄.
c) Conjecture une formule explicite pour uₙ et démontre-la par récurrence.
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