Calcul matriciel

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1
On considère $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .
Démontre par récurrence que, pour tout $n \ge 1$ , $A^{n} = 2^{n-1} A$ .
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a) $A^{2}$ : $(1{,}1) = 1\times 1+1\times 1 = 2$ ; $(1{,}2) = 1\times 1+1\times 1 = 2$ ; $(2{,}1) = 2$ ; $(2{,}2) = 2$ . Donc $A^{2} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ .
b) $2A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = A^{2}$ . Donc $A^{2} = 2A$ .
c) Notons P(n) : « $A^{n} = 2^{n-1} A$ ».
Initialisation : $n = 1$ : $2^{0} A = 1\times A = A = A^{1}$ . Vrai.
Hérédité : supposons $A^{n} = 2^{n-1} A$ . Alors :
$A^{n+1} = A^{n} \times A = (2^{n-1} A) \times A = 2^{n-1} (A\times A) = 2^{n-1} \times A^{2} = 2^{n-1} \times 2A = 2^{n} A$ .
Or $2^{n} = 2^{(n+1)-1}$ , donc $A^{n+1} = 2^{(n+1)-1} A$ : $P(n+1)$ vraie.
Conclusion : $A^{n} = 2^{n-1} A$ pour tout $n \ge 1$ .
(On a utilisé que la multiplication par le réel 2ⁿ⁻¹ se combine librement avec le produit matriciel.)
2
On considère $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ et $I = I_{2}$ .
Calcule $A^{3}$ en utilisant la relation du a).
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a) $A^{2}$ : $(1{,}1) = 2\times 2+1\times 1 = 5$ ; $(1{,}2) = 2\times 1+1\times 2 = 4$ ; $(2{,}1) = 1\times 2+2\times 1 = 4$ ; $(2{,}2) = 1\times 1+2\times 2 = 5$ . Donc $A^{2} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ .
$4A - 3I = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ . On a bien $A^{2} = 4A - 3I$ .
b) De $A^{2} = 4A - 3I$ on tire $3I = 4A - A^{2} = A(4I - A)$ , donc $I = A \times \frac{1}{3}(4I - A)$ .
Ainsi $A^{-1} = \frac{1}{3}(4I - A)$ . Or $4I - A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ .
Donc $A^{-1} = \frac{1}{3} \times \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$ .
(Contrôle par le déterminant : $\det A = 4 - 1 = 3$ , et la formule directe donne $A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ . ✓)
c) $A^{3} = A \times A^{2} = A(4A - 3I) = 4A^{2} - 3A = 4(4A - 3I) - 3A = 16A - 12I - 3A = 13A - 12I$ .
Donc $A^{3} = 13\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - 12\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 26 & 13 \\ 13 & 26 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 13 \\ 13 & 14 \end{pmatrix}$ .
3
On pose $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
Calcule $R^{2026}$ .
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4
On considère le système, d'inconnues x et y, dépendant du paramètre réel m :
$\begin{cases} m x + y = 1 \\ x + m y = m \end{cases}$
Étudie les cas $m = 1$ et $m = -1$ .
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5
On considère $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $I = I_{2}$ .
Montre que $A^{3} = 19A - 30I$ , et donne la matrice $A^{3}$ .
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6
On considère $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .
Donne, et démontre par récurrence, une expression de $A^{n}$ valable pour $n \ge 1$ .
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7
On considère $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et une matrice quelconque $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ .
Détermine toutes les matrices M qui commutent avec A (c'est-à-dire telles que $AM = MA$ ).
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8
On définit la suite ( $u_n$ ) par $u_{0} = 0$ , $u_{1} = 1$ et, pour tout n, $u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_{n}$ . On pose $U_{n} = \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_{n} \end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
Donne, et démontre par récurrence, une formule explicite de $u_n$ .
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9
Deux villages A et B comptent au total 900 habitants. Chaque année, 10 % des habitants de A partent vers B et 20 % des habitants de B partent vers A (les autres restent). On note $a_n$ et $b_n$ les effectifs après n années et $U_{n} = \begin{pmatrix} a_{n} \\ b_{n} \end{pmatrix}$ .
avec $a + b = 900$ vérifiant $M \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ .
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10
On pose $F = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . La suite de Fibonacci est définie par $F_{0} = 0$ , $F_{1} = 1$ et $F_{k+1} = F_{k} + F_{k-1}$ .
En calculant le déterminant de Fⁿ de deux façons, établis l'identité $F_{n+1} F_{n-1} - F_{n}^{2} = (-1)^{n}$ .
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