PGCD, théorèmes de Bézout et de Gauss

On considère les entiers 23 et 17.
a) Détermine $\mathrm{PGCD}(23 \,;\, 17)$ par l'algorithme d'Euclide.
b) Détermine un couple $(u \,;\, v)$ tel que $23u + 17v = 1$.

Résous dans $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ l'équation $7x + 5y = 1$.
a) Trouve une solution particulière.
b) Donne l'ensemble de toutes les solutions.

Résous dans $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ l'équation $9x + 6y = 5$.
a) Calcule $\mathrm{PGCD}(9 \,;\, 6)$.
b) Conclus sur l'existence de solutions.

Soit $n$ un entier relatif.
a) Montre que $4n + 3$ et $3n + 2$ sont premiers entre eux.
b) En déduire que la fraction $\frac{4n+3}{3n+2}$ est irréductible.

Soit $n$ un entier.
a) Montre que si 5 divise $7n$, alors 5 divise $n$.
b) Ce résultat resterait-il vrai en remplaçant 5 par 6 ?

On considère les entiers 84 et 60.
a) Détermine leur PGCD par l'algorithme d'Euclide.
b) Résous l'équation $84x + 60y = 12$.

Soit $n$ un entier naturel.
a) Montre que $\mathrm{PGCD}(n \,;\, n+1) = 1$.
b) Que vaut $\mathrm{PGCD}(n \,;\, n+2)$ ? Distingue selon la parité de $n$.

Résous dans $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ l'équation $11x + 4y = 3$.
a) Trouve une solution particulière.
b) Donne l'ensemble des solutions.

Soit $n$ un entier.
a) Montre que $2n + 1$ et $9n + 4$ sont premiers entre eux.
b) Déduis-en le PGCD de $2n+1$ et $9n+4$ pour $n = 100$.

On cherche les entiers naturels $n$ tels que $\mathrm{PGCD}(n \,;\, 24) = 6$.
a) Que peut-on dire de $n$ ?
b) Donne les valeurs de $n$ inférieures à 60 qui conviennent.