PGCD, théorèmes de Bézout et de Gauss

On suppose que 3 divise 7n. On remarque que $PGCD(3, 7) = 1$ (3 est premier et ne divise pas 7).
Le théorème de Gauss affirme : si un entier a divise un produit $b\times c$ et si a est premier avec b, alors a divise c.
Ici $a = 3$, $b = 7$, $c = n$ : 3 divise $7\times n$ et 3 est premier avec 7, donc 3 divise n.
Autre preuve par Bézout : 3 et 7 étant premiers entre eux, il existe u, v tels que $3u + 7v = 1$ (par exemple $3\times (-2) + 7\times 1 = 1$). En multipliant par n : 3un $\mathord{}+ 7vn = n$. Or 3 divise 3un et 3 divise 7vn (car 3 | 7n), donc 3 divise leur somme n.

Soit d un diviseur commun de $2n + 1$ et $3n + 2$. Il divise toute combinaison de ces deux nombres.
$3\times (2n + 1) - 2\times (3n + 2) = 6n + 3 - 6n - 4 = -1$.
Donc d divise $-1$, donc $d = 1$.
Conclusion : $PGCD(2n + 1, 3n + 2) = 1$ pour tout entier n.