PGCD, théorèmes de Bézout et de Gauss

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1
Soit n un entier naturel.
Donne, en fonction de n, un couple de Bézout (u, v) tel que $(5n + 3)u + (7n + 4)v = 1$ .
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a) $7\times (5n + 3) - 5\times (7n + 4) = 35n + 21 - 35n - 20 = 1$ .

b) Soit d un diviseur commun de $5n + 3$ et $7n + 4$ . Alors d divise la combinaison $7\times (5n + 3) - 5\times (7n + 4) = 1$ , donc $d = 1$ .
Ainsi $PGCD(5n + 3, 7n + 4) = 1$ : numérateur et dénominateur sont premiers entre eux, la fraction est irréductible pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

c) L'égalité du a) s'écrit exactement $(5n + 3)\times 7 + (7n + 4)\times (-5) = 1$ .
Donc $(u, v) = (7, -5)$ convient, quelle que soit la valeur de n.
Vérification : $(5n + 3)\times 7 + (7n + 4)\times (-5) = 35n + 21 - 35n - 20 = 1$ .
2
Soit n un entier relatif et $d = PGCD(n + 2, 3n + 1)$ .
Détermine les entiers n pour lesquels $d = 5$ .
Voir le corrigéoffert
a) d divise $n + 2$ et $3n + 1$ , donc il divise toute combinaison linéaire. Calculons :
$3\times (n + 2) - (3n + 1) = 3n + 6 - 3n - 1 = 5$ .
Donc d divise 5.

b) Les diviseurs positifs de 5 sont 1 et 5 (5 est premier). Comme $d > 0$ , on a $d = 1$ ou $d = 5$ .

c) $d = 5$ signifie que 5 divise à la fois $n + 2$ et $3n + 1$ . Il suffit en réalité que 5 divise $n + 2$ : en effet 5 divise alors $3\times (n + 2) = 3n + 6$ , et comme 5 divise aussi 5, il divise $3n + 6 - 5 = 3n + 1$ .
$5 | n + 2 \Leftrightarrow n \equiv -2 \equiv 3 (\text{mod} 5)$ .
Donc $d = 5$ si et seulement si $n \equiv 3 (\text{mod} 5)$ ; sinon $d = 1$ .
Vérification pour $n = 3$ : $n + 2 = 5$ , $3n + 1 = 10$ , $PGCD(5, 10) = 5$ .
3
Soit n un entier relatif et $d = PGCD(2n - 1, 3n + 2)$ .
Pour quels entiers n a-t-on $d = 7$ ?
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4
a) Détermine un couple (u, v) tel que $15u + 11v = 1$ .
b) En déduire une solution particulière de $15x + 11y = 7$ .
c) Donne toutes les solutions entières de $15x + 11y = 7$ .
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5
On cherche les entiers n vérifiant à la fois $n \equiv 2 (\text{mod} 5)$ et $n \equiv 1 (\text{mod} 7)$ .
Donne le plus petit entier naturel n solution.
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6
Soient a et b deux entiers premiers entre eux.
À l'aide de deux identités de Bézout que l'on multipliera, montre que $PGCD(ab, a + b) = 1$ .
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7
a) Détermine un couple (u, v) d'entiers tel que $26u + 15v = 1$ .
b) En déduire un inverse de 15 modulo 26, c'est-à-dire un entier k tel que $15k \equiv 1 (\text{mod} 26)$ .
c) Résous alors la congruence $15x \equiv 4 (\text{mod} 26)$ .
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8
On considère l'équation $8x + 5y = 120$ avec x et y entiers naturels $(x \ge 0, y \ge 0)$ .
Combien y a-t-il de couples (x, y) d'entiers naturels solutions ? Écris la liste complète.
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9
Un libraire vend des livres à 13 € et des cahiers à 8 €. Un client dépense exactement 100 €.
Détermine tous les achats possibles $(x \ge 0, y \ge 0)$ .
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10
On dispose de pièces de 7 centimes et de 11 centimes.
Combien existe-t-il de façons d'obtenir exactement 100 centimes avec un nombre positif ou nul de chaque pièce ? Précise la (ou les) solution(s).
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