PGCD, théorèmes de Bézout et de Gauss

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1
Calcule PGCD(60, 48) à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
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On effectue les divisions euclidiennes successives.
60 = 48×1 + 12 (reste 12).
48 = 12×4 + 0 (reste 0).
On s'arrête au reste nul. Le dernier reste non nul est 12.
Donc PGCD(60, 48) = 12.
Vérification : 60 = 12×5 et 48 = 12×4, donc 12 divise bien 60 et 48.
2
Calcule PGCD(126, 90) à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
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126 = 90×1 + 36.
90 = 36×2 + 18.
36 = 18×2 + 0.
Dernier reste non nul : 18. Donc PGCD(126, 90) = 18.
Vérification : 126 = 18×7 et 90 = 18×5.
3
Les entiers 35 et 12 sont-ils premiers entre eux ? Justifie par l'algorithme d'Euclide.
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4
Rends la fraction $\frac{84}{56}$ irréductible.
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5
Calcule PGCD(255, 108) à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
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6
Détermine un couple d'entiers (u, v) tel que 7u + 5v = 1.
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7
Calcule PGCD(140, 84) à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
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8
Rends la fraction $\frac{91}{78}$ irréductible.
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9
Détermine un couple d'entiers (u, v) tel que 13u + 9v = 1.
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10
Montre que 24 et 25 sont premiers entre eux.
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