Nombres premiers et petit théorème de Fermat

🟠 Difficile

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1
Soit $p$ un nombre premier ne divisant pas $a$ .
a) Énonce le petit théorème de Fermat.
b) Applique-le pour montrer que $a^{7} \equiv a \pmod 7$ pour tout entier $a$ .
Voir le corrigéoffert
a) Si $p$ est premier et ne divise pas $a$ , alors $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ .
Une autre forme, valable sans condition, est $a^{p} \equiv a \pmod p$ .

b) Si 7 ne divise pas $a$ : $a^{6} \equiv 1$ , donc $a^{7} \equiv a \pmod 7$ .
Si 7 divise $a$ : alors $a \equiv 0$ et $a^{7} \equiv 0 \equiv a$ .
Dans les deux cas, $a^{7} \equiv a \pmod 7$ .
2
On cherche le reste de $2^{500}$ dans la division par 11.
a) Applique le petit théorème de Fermat.
b) Détermine le reste.
Voir le corrigéoffert
a) 11 est premier et ne divise pas 2.
Donc $2^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ .

b) $500 = 10 \times 50$ , donc $2^{500} = (2^{10})^{50} \equiv 1 \pmod{11}$ .
Le reste vaut 1.
Contrôle : $2^{10} = 1\,024 = 11 \times 93 + 1$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
On cherche le reste de $10^{50}$ dans la division par 7.
a) Détermine la période.
b) Détermine le reste.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
4
On considère le nombre $N = 2^{6} \times 3^{4} \times 5^{2}$ .
a) Combien $N$ possède-t-il de diviseurs positifs ?
b) Combien parmi eux sont des multiples de 10 ?
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5
Quel est le plus petit entier naturel possédant exactement 12 diviseurs positifs ?
a) Explique la méthode à partir de la décomposition en facteurs premiers.
b) Donne la réponse.
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6
On cherche le reste de $7^{1\,234}$ dans la division par 5.
a) Détermine la période des puissances de 7 modulo 5.
b) Détermine le reste.
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7
Soit $n = 2^{a} \times 3^{b}$ un entier ayant exactement 20 diviseurs.
a) Quelles sont les valeurs possibles de $(a \,;\, b)$ ?
b) Quel est le plus petit tel entier ?
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8
On cherche le reste de $3^{1\,000}$ dans la division par 13.
a) Détermine la période des puissances de 3 modulo 13.
b) Détermine le reste.
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9
On cherche le reste de $5^{200}$ dans la division par 7.
a) Applique le petit théorème de Fermat pour trouver l'ordre de réduction.
b) Détermine le reste.
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10
On considère l'entier $N = 3^{2\,024} + 4^{2\,024}$ .
a) Détermine $3^{2\,024} \bmod 5$ et $4^{2\,024} \bmod 5$ .
b) Détermine le reste de $N$ dans la division par 5.
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