Nombres premiers et petit théorème de Fermat

On cherche le reste de $5^{200}$ dans la division par 7.
a) Applique le petit théorème de Fermat pour trouver l'ordre de réduction.
b) Détermine le reste.

On cherche le reste de $3^{1\,000}$ dans la division par 13.
a) Détermine la période des puissances de 3 modulo 13.
b) Détermine le reste.

On cherche le reste de $2^{500}$ dans la division par 11.
a) Applique le petit théorème de Fermat.
b) Détermine le reste.

Quel est le plus petit entier naturel possédant exactement 12 diviseurs positifs ?
a) Explique la méthode à partir de la décomposition en facteurs premiers.
b) Donne la réponse.

Soit $p$ un nombre premier ne divisant pas $a$.
a) Énonce le petit théorème de Fermat.
b) Applique-le pour montrer que $a^{7} \equiv a \pmod 7$ pour tout entier $a$.

On cherche le reste de $7^{1\,234}$ dans la division par 5.
a) Détermine la période des puissances de 7 modulo 5.
b) Détermine le reste.

On considère le nombre $N = 2^{6} \times 3^{4} \times 5^{2}$.
a) Combien $N$ possède-t-il de diviseurs positifs ?
b) Combien parmi eux sont des multiples de 10 ?

On cherche le reste de $10^{50}$ dans la division par 7.
a) Détermine la période.
b) Détermine le reste.

Soit $n = 2^{a} \times 3^{b}$ un entier ayant exactement 20 diviseurs.
a) Quelles sont les valeurs possibles de $(a \,;\, b)$ ?
b) Quel est le plus petit tel entier ?

On considère l'entier $N = 3^{2\,024} + 4^{2\,024}$.
a) Détermine $3^{2\,024} \bmod 5$ et $4^{2\,024} \bmod 5$.
b) Détermine le reste de $N$ dans la division par 5.