Nombres premiers et petit théorème de Fermat
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Déterminer le reste de 3¹⁰⁰ dans la division par 7.
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7 est premier et PGCD(3 ; 7) = 1, donc d'après Fermat 3⁶ ≡ 1 [7].
On ramène l'exposant modulo 6 : 100 = 6 × 16 + 4.
Ainsi 3¹⁰⁰ = (3⁶)¹⁶ × 3⁴ ≡ 1¹⁶ × 3⁴ = 3⁴ [7].
Or 3⁴ = 81 = 7 × 11 + 4, donc 3⁴ ≡ 4 [7].
Le reste de 3¹⁰⁰ par 7 est 4. - 2
Déterminer le reste de 2²⁰²⁴ dans la division par 13.
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13 est premier et PGCD(2 ; 13) = 1, donc 2¹² ≡ 1 [13] (Fermat).
On réduit l'exposant modulo 12 : 2024 = 12 × 168 + 8 (car 12 × 168 = 2016).
Donc 2²⁰²⁴ = (2¹²)¹⁶⁸ × 2⁸ ≡ 2⁸ [13].
2⁸ = 256 et 256 = 13 × 19 + 9 (13 × 19 = 247).
Donc 2²⁰²⁴ ≡ 9 [13] : le reste est 9. - 3
Déterminer le reste de 7²²² dans la division par 11.
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Quel est le plus petit entier naturel possédant exactement 15 diviseurs positifs ?
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Soit a = 2³ × 3² × 5 et b = 2 × 3³ × 7. Calculer a, b, leur PGCD, leur PPCM, puis vérifier que PGCD × PPCM = a × b.
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Déterminer tous les nombres premiers p tels que p, p+2 et p+4 soient simultanément premiers.
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Quel est le chiffre des unités de 7²⁰²⁶ ?
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On utilise le chiffrement RSA avec p = 3 et q = 11. On pose n = p×q et on choisit l'exposant de chiffrement e = 3. a) Calculer n et φ(n) = (p−1)(q−1). b) Déterminer la clé de déchiffrement d telle que e×d ≡ 1 [φ(n)]. c) Chiffrer le message m = 4.
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Déterminer le reste de 12⁴⁵ dans la division par 7.
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Démontrer que tout nombre premier p ≥ 5 est congru à 1 ou à 5 modulo 6. En déduire l'écriture de 41 et 43 sous la forme 6k ± 1.
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