Nombres premiers et petit théorème de Fermat

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1
Déterminer le reste de 3¹⁰⁰ dans la division par 7.
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7 est premier et $PGCD(3 \,;\, 7) = 1$ , donc d'après Fermat $3^{6} \equiv 1 [7]$ .
On ramène l'exposant modulo 6 : $100 = 6 \times 16 + 4$ .
Ainsi $3^{100} = (3^{6})^{16} \times 3^{4} \equiv 1^{16} \times 3^{4} = 3^{4} [7]$ .
Or $3^{4} = 81 = 7 \times 11 + 4$ , donc $3^{4} \equiv 4 [7]$ .
Le reste de 3¹⁰⁰ par 7 est 4.
2
Quel est le plus petit entier naturel possédant exactement 15 diviseurs positifs ?
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Si $n = p_{1}^{a_{1}} \times \dots \times p_k^{a_{k}}$ , le nombre de diviseurs est $(a_{1}+1)\dots (a_k+1)$ . On veut ce produit égal à 15.
Les factorisations de 15 sont : 15 ; $3 \times 5$ .
Premier cas 15 : un seul premier, exposant 14, plus petit entier $2^{14} = 16 384$ .
Deuxième cas $3 \times 5$ : exposants 2 et 4 sur deux premiers. Pour minimiser, on met le plus grand exposant sur le plus petit premier : $2^{4} \times 3^{2} = 16 \times 9 = 144$ (l'autre choix $2^{2} \times 3^{4} = 324$ est plus grand).
Le minimum global est 144.
Vérification : $144 = 2^{4} \times 3^{2} a (4+1)(2+1) = 15$ diviseurs.
3
Déterminer le reste de $7^{222}$ dans la division par 11.
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4
Déterminer le reste de $2^{2024}$ dans la division par 13.
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5
Déterminer tous les nombres premiers p tels que p, $p+2$ et $p+4$ soient simultanément premiers.
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6
Soit $a = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$ et $b = 2 \times 3^{3} \times 7$ . Calculer a, b, leur PGCD, leur PPCM, puis vérifier que $PGCD \times PPCM = a \times b$ .
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7
Quel est le chiffre des unités de $7^{2026}$ ?
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8
Déterminer le reste de $12^{45}$ dans la division par 7.
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9
Démontrer que tout nombre premier $p \ge 5$ est congru à 1 ou à 5 modulo 6. En déduire l'écriture de 41 et 43 sous la forme $6k \pm 1$ .
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10
On utilise le chiffrement RSA avec $p = 3$ et $q = 11$ . On pose $n = p\times q$ et on choisit l'exposant de chiffrement $e = 3$ .
a) Calculer n et $\varphi (n) = (p-1)(q-1)$ .
b) Déterminer la clé de déchiffrement d telle que $e\times d \equiv 1 [\varphi (n)]$ .
c) Chiffrer le message $m = 4$ .
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