Nombres premiers et petit théorème de Fermat

a) $3^{1} \equiv 3$ ; $3^{2} = 9 \equiv 2$ ; $3^{3} \equiv 3\times 2 = 6$ ; $3^{4} \equiv 3\times 6 = 18 \equiv 4$ ; $3^{5} \equiv 3\times 4 = 12 \equiv 5$ ; $3^{6} \equiv 3\times 5 = 15 \equiv 1 [7]$.
La première puissance égale à 1 est la 6ᵉ : l'ordre de 3 modulo 7 est 6.
b) Les restes obtenus 3, 2, 6, 4, 5, 1 sont exactement tous les restes non nuls modulo 7 (1 à 6). Comme 3 engendre tous ces restes, 3 est une racine primitive modulo 7.
c) Comme $3^{6} \equiv 1 [7]$, on réduit l'exposant modulo 6 : $1000 = 6 \times 166 + 4$. Donc $3^{1000} \equiv 3^{4} \equiv 4 [7]$. Le reste est 4.
d) D'après le tableau, $3^{5} \equiv 5 [7]$. Comme les puissances de 3 sont périodiques de période 6, on a $3^x \equiv 5 [7]$ ⟺ $x \equiv 5 [6]$.

a) Notons $d = PGCD(a \,;\, b) = 6$. On écrit $a = 6a'$ et $b = 6b'$ avec $PGCD(a' \,;\, b') = 1$.
On sait que $a \times b = PGCD \times PPCM$, donc $36\,\text{a}'b' = 6 \times 90 = 540$, d'où $a'b' = 15$.
Ainsi il faut trouver les couples (a' ; b') d'entiers premiers entre eux, avec $a' \le b'$ et $a'b' = 15$.
b) Les factorisations de 15 en facteurs premiers entre eux, avec $a' \le b'$ : $(1 \,;\, 15)$ et $(3 \,;\, 5)$. (Le couple $(a'=1, b'=15)$ et $(a'=3, b'=5)$ sont bien premiers entre eux.)
Cela donne $(a \,;\, b) = (6 \,;\, 90)$ et $(a \,;\, b) = (18 \,;\, 30)$.
Pour en être sûr : $PGCD(6 \,;\, 90) = 6$ et $PPCM(6 \,;\, 90) = 90$. ✓ $PGCD(18 \,;\, 30) = 6$ et $PPCM(18 \,;\, 30) = 90$.