Concentration et loi des grands nombres

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1
X suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}3$ . On considère un échantillon de taille $n = 500$ et sa moyenne $M_{500}$ .
a) Calcule $E(M_{500})$ , $V(M_{500})$ et $\sigma(M_{500})$ .
b) Majore $P\big(|M_{500} - 0{,}3| \ge 0{,}05\big)$ .
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a) Pour une loi de Bernoulli : $E(X) = p = 0{,}3$ et $V(X) = p(1-p) = 0{,}21$ .
$E(M_n) = E(X) = 0{,}3$ .
$V(M_n) = \frac{V(X)}{n} = \frac{0{,}21}{500} = 0{,}00042$ .
$\sigma(M_{500}) = \sqrt{0{,}00042} \approx 0{,}0205$ .

b) L'inégalité de concentration donne $P(|M_n - \mu| \ge \delta) \le \frac{V(X)}{n\delta^{2}}$ .
$\frac{0{,}21}{500 \times 0{,}0025} = \frac{0{,}21}{1{,}25} = 0{,}168$ .
La probabilité est donc majorée par 0,168.
2
Une variable X a pour variance $V = 0{,}36$ . On veut garantir $P(|M_n - \mu| \ge 0{,}1) \le 0{,}02$ .
a) Écris l'inéquation portant sur $n$ .
b) Détermine la plus petite taille d'échantillon convenable.
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a) L'inégalité de concentration majore la probabilité par $\frac{V}{n\delta^{2}}$ .
Il suffit donc que $\frac{0{,}36}{n \times 0{,}01} \le 0{,}02$ .

b) $\frac{36}{n} \le 0{,}02$ , donc $n \ge \frac{36}{0{,}02} = 1\,800$ .
La plus petite taille convenable est $n = 1\,800$ .
Cette majoration est prudente : la vraie probabilité est en général bien plus petite.
3
Lors d'un sondage, on interroge $n$ personnes pour estimer une proportion $p$ inconnue. On majore la variance par $\frac{1}{4}$ .
a) Écris l'inéquation pour une précision $\delta = 0{,}03$ avec un risque au plus 0,05.
b) Détermine la taille minimale $n$ .
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4
On lance un dé équilibré ; X a pour espérance $\mu = 3{,}5$ et pour variance $V = \frac{35}{12}$ . On prélève un échantillon de taille $n = 100$ .
a) Calcule $V(M_{100})$ et $\sigma(M_{100})$ .
b) Majore $P\big(|M_{100} - 3{,}5| \ge 0{,}4\big)$ .
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5
Une variable X a pour espérance $\mu = 20$ et pour variance $V = 9$ .
a) Exprime $\sigma(M_n)$ en fonction de $n$ .
b) Détermine la plus petite valeur de $n$ telle que $\sigma(M_n) \le 0{,}25$ .
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6
X suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}4$ , et on prend $n = 1\,000$ .
a) Calcule $E(M_n)$ et $\sigma(M_n)$ .
b) Majore $P\big(|M_n - 0{,}4| \ge 0{,}04\big)$ et interprète.
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7
Une variable X a pour variance $V = 1$ . On veut que $P(|M_n - \mu| \ge 0{,}05) \le 0{,}1$ .
a) Détermine la taille minimale de l'échantillon.
b) Que devient cette taille si l'on exige un risque de 0,01 ?
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8
On considère un échantillon de taille $n = 200$ d'une variable X telle que $\mu = 50$ et $V = 16$ .
a) Calcule $\sigma(M_{200})$ .
b) Majore $P\big(|M_{200} - 50| \ge 1\big)$ .
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9
On veut estimer une proportion avec une précision de 0,01 et un risque au plus 0,05, en majorant la variance par $\frac{1}{4}$ .
a) Détermine la taille minimale de l'échantillon.
b) Compare avec la taille nécessaire pour une précision de 0,02.
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10
La loi des grands nombres affirme que $M_n$ se rapproche de $\mu$ quand $n$ grandit.
a) Explique ce que dit l'inégalité de concentration à ce sujet.
b) Pour $V = 4$ et $\delta = 0{,}1$ , calcule la majoration pour $n = 100$ , puis $n = 10\,000$ .
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