Concentration et loi des grands nombres

Une machine produit des tiges métalliques dont la longueur X (en mm) a pour espérance μ = 200 et pour écart-type σ = 2.
a) Majore P(|X − 200| ≥ 5) avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
b) On prélève un échantillon de n = 64 tiges, de moyenne M. Calcule E(M), V(M) et σ(M).
c) Majore P(|M − 200| ≥ 0,5).
d) Quelle taille d'échantillon n garantit P(|Mn − 200| < 0,5) ≥ 0,99 ?

On veut estimer la proportion p d'électeurs favorables à une mesure. Chaque réponse est modélisée par une loi de Bernoulli de paramètre p.
a) Montre que la variance V = p(1 − p) est toujours inférieure ou égale à $\frac{1}{4}$.
b) On veut estimer p avec une précision δ = 0,03 et un risque au plus 0,05. En majorant V par $\frac{1}{4}$, détermine la taille minimale n.
c) Si l'on exige le même δ mais un risque au plus 0,01, quelle est la nouvelle taille minimale ? Compare avec la question b).

On lance un dé équilibré ; le résultat X a pour espérance μ = 3,5 et pour variance V = $\frac{35}{12}$. On note Mn la moyenne d'un échantillon de n lancers.
a) Exprime, en fonction de n, la borne donnée par l'inégalité de concentration pour P(|Mn − 3,5| ≥ 0,1).
b) À partir de quelle valeur de n cette borne devient-elle inférieure à 1 (donc utile) ?
c) Détermine le plus petit n pour lequel cette borne est inférieure ou égale à 0,05.
d) Que dit la loi des grands nombres sur Mn quand n devient très grand ?

La durée X (en minutes) d'un appel dans un centre a pour espérance μ = 4 et pour écart-type σ = 3.
a) Majore P(|X − 4| ≥ 9) avec Bienaymé-Tchebychev.
b) On observe un échantillon de n = 100 appels, de moyenne M100. Calcule σ(M100).
c) Majore P(M100 ≥ 4,6) en te ramenant à un événement du type |M100 − 4| ≥ δ.
d) Quelle taille n garantit P(|Mn − 4| < 0,3) ≥ 0,9 ?

X suit une loi de Bernoulli de paramètre p = 0,5. On prélève un échantillon de taille n = 4, de moyenne M4.
a) Donne l'espérance μ et la variance V de X.
b) Quelles valeurs peut prendre M4 ?
c) Calcule la valeur exacte de P(|M4 − 0,5| ≥ 0,5).
d) Compare cette valeur exacte à la borne donnée par l'inégalité de concentration.

Une variable X a pour espérance μ (inconnue) et pour variance V = 6. On note Mn la moyenne d'un échantillon de taille n.
a) Exprime σ(Mn) en fonction de n.
b) Détermine le plus petit n tel que σ(Mn) ≤ 0,1.
c) Pour ce n, majore P(|Mn − μ| ≥ 0,2) avec l'inégalité de concentration.
d) Quel n rendrait cette borne (pour δ = 0,2) inférieure ou égale à 0,05 ?

Dans un jeu, on gagne 10 € avec probabilité 0,2 et on perd 2 € avec probabilité 0,8. On note X le gain algébrique d'une partie.
a) Calcule l'espérance E(X).
b) Calcule la variance V(X) et l'écart-type σ(X).
c) On joue n = 144 parties ; M est le gain moyen. Calcule E(M) et σ(M).
d) Majore P(|M − 0,4| ≥ 0,8).
e) Interprète le résultat à l'aide de la loi des grands nombres.

Une variable X a pour espérance μ = 50 et pour écart-type σ = 10.
a) À l'aide de Bienaymé-Tchebychev, détermine un réel δ tel que P(|X − 50| < δ) ≥ 0,75, et donne l'intervalle obtenu.
b) On prélève un échantillon de taille n = 25, de moyenne M. Calcule σ(M).
c) Détermine de même un réel δ' tel que P(|M − 50| < δ') ≥ 0,75, et donne l'intervalle.
d) Compare les deux intervalles et explique le rôle de n.

Un institut réalise un sondage sur n personnes pour estimer une proportion p. On modélise la fréquence observée par la moyenne F d'un échantillon de lois de Bernoulli et on majore la variance par $\frac{1}{4}$.
a) Pour n = 2500 et δ = 0,02, majore P(|F − p| ≥ 0,02).
b) Quelle taille n rend cette borne (pour δ = 0,02) inférieure ou égale à 0,05 ?
c) On veut maintenant une précision δ = 0,01 avec le même risque 0,05. Quelle taille n faut-il ? Commente l'effet d'une précision deux fois plus fine.

Un composant électronique est défaillant avec probabilité p = 0,1. On note X la variable de Bernoulli associée (1 si défaillant, 0 sinon).
a) Donne l'espérance μ et la variance V de X.
b) On teste un lot de n = 900 composants ; M est la fréquence de défaillants observée. Calcule σ(M).
c) Majore P(|M − 0,1| ≥ 0,03).
d) Quelle taille n garantit P(|Mn − 0,1| < 0,02) ≥ 0,95 ?