Concentration et loi des grands nombres

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1
X suit une loi de Bernoulli de paramètre p = 0,5. On prélève un échantillon de taille n = 4, de moyenne M4.
Compare la valeur exacte à la borne donnée par l'inégalité de concentration.
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a) μ = p = 0,5 et V = p(1 − p) = 0,5 × 0,5 = 0,25.
b) M4 = $\frac{S}{4}$ où S est le nombre de succès parmi 4 épreuves ; S peut valoir 0, 1, 2, 3 ou 4, donc M4 prend les valeurs 0 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 ; 1.
c) |M4 − 0,5| ≥ 0,5 correspond à M4 = 0 ou M4 = 1, c'est-à-dire S = 0 ou S = 4. Comme S suit une loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 0,5 : P(S = 0) = 0,5⁴ = $\frac{1}{16}$ et P(S = 4) = 0,5⁴ = $\frac{1}{16}$ . Donc P(|M4 − 0,5| ≥ 0,5) = $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{2}{16}$ = $\frac{1}{8}$ = 0,125.
d) Inégalité de concentration avec δ = 0,5 (δ² = 0,25) : borne = $\frac{V}{(n\times δ^{2})}$ = $\frac{0{,}25}{(4\times 0{,}25)}$ = $\frac{0{,}25}{1}$ = 0,25. La valeur exacte 0,125 est bien inférieure à la borne 0,25 : l'inégalité est vérifiée, mais elle surestime nettement la vraie probabilité.
C) 0,125 ; d) borne 0,25, cohérente et prudente.
2
Une variable X a pour espérance μ (inconnue) et pour variance V = 6. On note Mn la moyenne d'un échantillon de taille n.
Quel n rendrait la borne (pour $\delta = 0{,}2$ ) inférieure ou égale à 0,05 ?
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a) $\sigma (Mn) = \sqrt{V(Mn)} = \sqrt{\frac{6}{n}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{n}}$ .
b) Condition $\sigma (Mn) \le 0{,}1$ : $\sqrt{\frac{6}{n}} \le 0{,}1$ . On élève au carré : $\frac{6}{n} \le 0{,}01$ , donc $n \ge \frac{6}{0{,}01} = 600$ .
c) Pour $n = 600$ , concentration avec δ $= 0{,}2$ (δ $^{2} = 0{,}04$ ) : $P(|M600 - \mu | \ge 0{,}2) \le \frac{6}{(600\times 0{,}04)} = \frac{6}{24} = 0{,}25$ .
d) On veut $\frac{6}{(n\times 0{,}04)} \le 0{,}05$ , soit $\frac{150}{n} \le 0{,}05$ , donc $n \ge \frac{150}{0{,}05} = 3000$ .
Résultat : a) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{n}}$ ; b) $n = 600$ ; c) 0,25 ; d) $n \ge 3000$ .
3
On veut estimer la proportion p d'électeurs favorables à une mesure. Chaque réponse est modélisée par une loi de Bernoulli de paramètre p.
a) Montre que la variance $V = p(1 - p)$ est toujours inférieure ou égale à $\frac{1}{4}$ .
b) On veut estimer p avec une précision δ $= 0{,}03$ et un risque au plus 0,05. En majorant V par $\frac{1}{4}$ , détermine la taille minimale n.
c) Si l'on exige le même δ mais un risque au plus 0,01, quelle est la nouvelle taille minimale ? Compare avec la question b).
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4
On lance un dé équilibré ; le résultat X a pour espérance μ = 3,5 et pour variance V = $\frac{35}{12}$ . On note Mn la moyenne d'un échantillon de n lancers.
Que dit la loi des grands nombres sur Mn quand n devient très grand ?
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5
Un composant électronique est défaillant avec probabilité $p = 0{,}1$ . On note X la variable de Bernoulli associée (1 si défaillant, 0 sinon).
Quelle taille n garantit $P(|Mn - 0{,}1| < 0{,}02) \ge 0{,}95$ ?
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6
Une variable X a pour espérance $\mu = 50$ et pour écart-type $\sigma = 10$ .
Que devient l'intervalle quand on passe de X à la moyenne M ? Explique le rôle de n.
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7
La durée X (en minutes) d'un appel dans un centre a pour espérance $\mu = 4$ et pour écart-type $\sigma = 3$ .
Quelle taille n garantit $P(|Mn - 4| < 0{,}3) \ge 0{,}9$ ?
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8
Une machine produit des tiges métalliques dont la longueur X (en mm) a pour espérance μ = 200 et pour écart-type σ = 2.
Quelle taille d'échantillon n garantit P(|Mn − 200| < 0,5) ≥ 0,99 ?
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9
Un institut réalise un sondage sur n personnes pour estimer une proportion p. On modélise la fréquence observée par la moyenne F d'un échantillon de lois de Bernoulli et on majore la variance par $\frac{1}{4}$ .
On veut maintenant une précision δ $= 0{,}01$ avec le même risque 0,05. Quelle taille n faut-il ? Commente l'effet d'une précision deux fois plus fine.
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10
Dans un jeu, on gagne 10 € avec probabilité 0,2 et on perd 2 € avec probabilité 0,8. On note X le gain algébrique d'une partie.
Que dit la loi des grands nombres sur le gain moyen quand n grandit ?
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