Concentration et loi des grands nombres

On lance un dé équilibré un très grand nombre de fois et on note la fréquence d'apparition d'un numéro pair. Vers quelle valeur cette fréquence se stabilise-t-elle ? Nomme le théorème qui justifie ce phénomène.

Une variable X a pour espérance $\mu = 10$ et pour écart-type $\sigma = 6$. On prélève un échantillon de taille $n = 9$, de moyenne M9. Donne E(M9) et σ(M9).

Une variable X a pour espérance μ = 50 et pour écart-type σ = 5. Majore P(|X − 50| ≥ 10) avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Un échantillon de taille n = 100 est associé à une variable X de variance V = 4. On note M100 sa moyenne. Majore P(|M100 − μ| ≥ 1) grâce à l'inégalité de concentration.

X est une variable aléatoire d'espérance μ = 20 et de variance V = 9. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majore P(|X − 20| ≥ 6).

X suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}5$. On considère un échantillon de taille $n = 25$ et sa moyenne M25. Calcule V(M25) et σ(M25).

Une variable X a pour variance $V(X) = 8$. On forme un échantillon de taille $n = 200$ et on note M200 sa moyenne. Calcule V(M200) puis l'écart-type σ(M200).

X est une variable aléatoire d'espérance μ = 100 et de variance V = 16. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minore P(|X − 100| < 8).

Un échantillon de taille n = 400 est associé à une variable X de variance V = 9. On note M400 sa moyenne. Majore P(|M400 − μ| ≥ 1,5) avec l'inégalité de concentration.

Une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}3$. On considère un échantillon (X1, X2, …, X50) de taille $n = 50$ et sa moyenne M50. Calcule E(M50) et V(M50).