Concentration et loi des grands nombres
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Une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p = 0,3. On considère un échantillon (X1, X2, …, X50) de taille n = 50 et sa moyenne M50. Calcule E(M50) et V(M50).
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Pour une loi de Bernoulli de paramètre p : l'espérance est μ = p et la variance est V = p(1 − p).
Étape 1 — Espérance de X : μ = 0,3.
Étape 2 — Variance de X : V = 0,3 × (1 − 0,3) = 0,3 × 0,7 = 0,21.
Étape 3 — Espérance de la moyenne : la moyenne d'un échantillon a la même espérance que X, donc E(M50) = μ = 0,3.
Étape 4 — Variance de la moyenne : V(Mn) = , donc V(M50) = = 0,0042.
Résultat : E(M50) = 0,3 et V(M50) = 0,0042. - 2
X est une variable aléatoire d'espérance μ = 20 et de variance V = 9. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majore P(|X − 20| ≥ 6).
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L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev dit : pour tout δ > 0, P(|X − μ| ≥ δ) ≤ .
Étape 1 — On repère les données : μ = 20, V = 9 et δ = 6.
Étape 2 — On applique la formule : P(|X − 20| ≥ 6) ≤ = .
Étape 3 — On simplifie : = = 0,25.
Résultat : P(|X − 20| ≥ 6) ≤ 0,25. C'est une majoration : la vraie probabilité peut être bien plus petite. - 3
Une variable X a pour variance V(X) = 8. On forme un échantillon de taille n = 200 et on note M200 sa moyenne. Calcule V(M200) puis l'écart-type σ(M200).
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Une variable X a pour espérance μ = 50 et pour écart-type σ = 5. Majore P(|X − 50| ≥ 10) avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
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Un échantillon de taille n = 100 est associé à une variable X de variance V = 4. On note M100 sa moyenne. Majore P(|M100 − μ| ≥ 1) grâce à l'inégalité de concentration.
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On lance un dé équilibré un très grand nombre de fois et on note la fréquence d'apparition d'un numéro pair. Vers quelle valeur cette fréquence se stabilise-t-elle ? Nomme le théorème qui justifie ce phénomène.
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Une variable X a pour espérance μ = 10 et pour écart-type σ = 6. On prélève un échantillon de taille n = 9, de moyenne M9. Donne E(M9) et σ(M9).
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X suit une loi de Bernoulli de paramètre p = 0,5. On considère un échantillon de taille n = 25 et sa moyenne M25. Calcule V(M25) et σ(M25).
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X est une variable aléatoire d'espérance μ = 100 et de variance V = 16. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minore P(|X − 100| < 8).
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Un échantillon de taille n = 400 est associé à une variable X de variance V = 9. On note M400 sa moyenne. Majore P(|M400 − μ| ≥ 1,5) avec l'inégalité de concentration.
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