Concentration et loi des grands nombres

🟡 Moyen

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1
Une variable X a pour variance V = 2. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, détermine la plus petite valeur de δ pour laquelle on est certain que P(|X − μ| ≥ δ) ≤ 0,02.
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Bienaymé-Tchebychev : P(|X − μ| ≥ δ) $\le \frac{V}{δ^{2}}$ . Pour garantir la majoration voulue, il suffit d'imposer $\frac{V}{δ^{2}} \le 0{,}02$ .
Étape 1 — Condition : $\frac{2}{δ^{2}} \le 0{,}02$ .
Étape 2 — On isole δ² : δ $^{2} \ge \frac{2}{0{,}02} = 100$ .
Étape 3 — On prend la racine : δ $\ge \sqrt{100} = 10$ .
La plus petite valeur est δ $= 10$ .
2
Une variable X a pour variance V = 0,25. On veut que l'inégalité de concentration garantisse P(|Mn − μ| ≥ 0,1) ≤ 0,01. Détermine la plus petite taille d'échantillon n convenable.
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L'inégalité de concentration donne P(|Mn − μ| ≥ δ) ≤ $\frac{V}{(n\times δ^{2})}$ . On veut cette borne ≤ 0,01.
Étape 1 — On écrit la condition : $\frac{V}{(n\times δ^{2})}$ ≤ 0,01, soit $\frac{0{,}25}{(n\times 0{,}01)}$ ≤ 0,01 (car δ² = 0,1² = 0,01).
Étape 2 — On isole n : 0,25 ≤ 0,01 × n × 0,01, c'est-à-dire 0,25 ≤ 0,0001 × n.
Étape 3 — On divise : n ≥ $\frac{0{,}25}{0{,}0001}$ = 2500.
Il faut au moins n = 2500.
3
On lance une pièce équilibrée n fois et on note Mn la fréquence de « pile ». On souhaite garantir P(|Mn − 0,5| < 0,01) ≥ 0,99 à l'aide de l'inégalité de concentration. Détermine la taille minimale n.
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4
Une variable X a pour espérance $\mu = 12$ et pour variance $V = 4$ . On veut que la moyenne Mn d'un échantillon de taille n ait un écart-type σ(Mn) au plus égal à 0,5. Détermine la plus petite valeur de n.
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5
Une variable X a pour espérance μ = 60 et pour écart-type σ = 4. En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, détermine un réel δ tel que P(|X − 60| < δ) ≥ 0,96, puis donne l'intervalle correspondant.
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6
On lance un dé équilibré ; le résultat X a pour espérance $\mu = 3{,}5$ et pour variance $V = \frac{35}{12}$ . On prélève un échantillon de taille $n = 50$ , de moyenne M50. Majore $P(|M50 - 3{,}5| \ge 0{,}5)$ .
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7
Une variable X a pour espérance $\mu = 8$ et pour variance $V = 5$ . On prélève un échantillon de taille $n = 125$ , de moyenne M125.
a) Calcule σ(M125).
b) Majore $P(|M125 - 8| \ge 0{,}4)$ .
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8
Lors d'un sondage, on interroge n personnes pour estimer une proportion p inconnue. On modélise chaque réponse par une loi de Bernoulli et on majore la variance par sa valeur maximale $\frac{1}{4}$ . On souhaite une précision δ $= 0{,}02$ avec un risque au plus égal à 0,05. Détermine la taille minimale n.
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9
X suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}6$ . On considère un échantillon de taille $n = 150$ , de moyenne M150.
a) Calcule E(M150) et V(M150).
b) Majore $P(|M150 - 0{,}6| \ge 0{,}1)$ .
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10
X suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}2$ . On considère un échantillon de taille $n = 1000$ , de moyenne M1000. Calcule E(M1000), V(M1000) et σ(M1000), puis majore $P(|M1000 - 0{,}2| \ge 0{,}05)$ .
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