Concentration et loi des grands nombres

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1
X suit une loi de Bernoulli de paramètre p = 0,2. On considère un échantillon de taille n = 1000, de moyenne M1000. Calcule E(M1000), V(M1000) et σ(M1000), puis majore P(|M1000 − 0,2| ≥ 0,05).
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Étape 1 — Espérance et variance de X : μ = p = 0,2 et V = p(1 − p) = 0,2 × 0,8 = 0,16.
Étape 2 — Espérance de la moyenne : E(M1000) = μ = 0,2.
Étape 3 — Variance de la moyenne : V(M1000) = $\frac{0{,}16}{1000}$ = 0,00016.
Étape 4 — Écart-type : σ(M1000) = √0,00016 ≈ 0,0126.
Étape 5 — Inégalité de concentration avec δ = 0,05 (donc δ² = 0,0025) : P(|M1000 − 0,2| ≥ 0,05) ≤ $\frac{0{,}16}{(1000\times 0{,}0025)}$ = $\frac{0{,}16}{2{,}5}$ = 0,064.
Résultat : la probabilité est majorée par 0,064.
2
Une variable X a pour variance V = 0,25. On veut que l'inégalité de concentration garantisse P(|Mn − μ| ≥ 0,1) ≤ 0,01. Détermine la plus petite taille d'échantillon n convenable.
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L'inégalité de concentration donne P(|Mn − μ| ≥ δ) ≤ $\frac{V}{(n\times δ^{2})}$ . On veut cette borne ≤ 0,01.
Étape 1 — On écrit la condition : $\frac{V}{(n\times δ^{2})}$ ≤ 0,01, soit $\frac{0{,}25}{(n\times 0{,}01)}$ ≤ 0,01 (car δ² = 0,1² = 0,01).
Étape 2 — On isole n : 0,25 ≤ 0,01 × n × 0,01, c'est-à-dire 0,25 ≤ 0,0001 × n.
Étape 3 — On divise : n ≥ $\frac{0{,}25}{0{,}0001}$ = 2500.
Résultat : il faut au moins n = 2500.
3
Lors d'un sondage, on interroge n personnes pour estimer une proportion p inconnue. On modélise chaque réponse par une loi de Bernoulli et on majore la variance par sa valeur maximale $\frac{1}{4}$ . On souhaite une précision δ = 0,02 avec un risque au plus égal à 0,05. Détermine la taille minimale n.
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4
On lance un dé équilibré ; le résultat X a pour espérance μ = 3,5 et pour variance V = $\frac{35}{12}$ . On prélève un échantillon de taille n = 50, de moyenne M50. Majore P(|M50 − 3,5| ≥ 0,5).
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5
Une variable X a pour espérance μ = 12 et pour variance V = 4. On veut que la moyenne Mn d'un échantillon de taille n ait un écart-type σ(Mn) au plus égal à 0,5. Détermine la plus petite valeur de n.
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6
Une variable X a pour espérance μ = 60 et pour écart-type σ = 4. En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, détermine un réel δ tel que P(|X − 60| < δ) ≥ 0,96, puis donne l'intervalle correspondant.
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7
X suit une loi de Bernoulli de paramètre p = 0,6. On considère un échantillon de taille n = 150, de moyenne M150.
a) Calcule E(M150) et V(M150).
b) Majore P(|M150 − 0,6| ≥ 0,1).
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8
On lance une pièce équilibrée n fois et on note Mn la fréquence de « pile ». On souhaite garantir P(|Mn − 0,5| < 0,01) ≥ 0,99 à l'aide de l'inégalité de concentration. Détermine la taille minimale n.
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9
Une variable X a pour espérance μ = 8 et pour variance V = 5. On prélève un échantillon de taille n = 125, de moyenne M125.
a) Calcule σ(M125).
b) Majore P(|M125 − 8| ≥ 0,4).
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10
Une variable X a pour variance V = 2. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, détermine la plus petite valeur de δ pour laquelle on est certain que P(|X − μ| ≥ δ) ≤ 0,02.
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