Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

🟠 Difficile

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1
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{2} + 4$ .
a) L'équation $f(x) = 0$ admet-elle une solution ? Justifie.
b) Pourquoi le théorème des valeurs intermédiaires ne permet-il pas de conclure autrement ?
Voir le corrigéoffert
a) Non. $x^{2} \ge 0$ , donc $f(x) \ge 4 > 0$ pour tout réel.
La fonction ne s'annule jamais.

b) Le théorème des valeurs intermédiaires ne s'applique que si 0 est compris entre deux images.
Or ici toutes les images sont supérieures ou égales à 4 : la valeur 0 n'est jamais encadrée.
Le théorème donne une condition suffisante d'existence, jamais une condition nécessaire d'absence.
C'est le raisonnement direct sur le signe qui permet de conclure.
2
Soit $f$ définie sur $[0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x} - x + 2$ .
a) Étudie les variations de $f$ sur $]0 \,;\, +\infty[$ .
b) Montre que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[1 \,;\, +\infty[$ .
Voir le corrigéoffert
a) $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$ .
$f'(x) = 0$ pour $2\sqrt{x} = 1$ , soit $x = 0{,}25$ .
$f'$ est positive avant, négative après : $f$ croît sur $]0 \,;\, 0{,}25]$ puis décroît.

b) Sur $[1 \,;\, +\infty[$ , $f$ est continue et strictement décroissante.
$f(1) = 1 - 1 + 2 = 2 > 0$ .
$f(4) = 2 - 4 + 2 = 0$ : la solution est exactement 4.
La stricte décroissance garantit qu'il n'y en a pas d'autre sur cet intervalle.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Soit $f$ définie sur $]0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \ln x + x - 3$ .
a) Montre que $f$ est strictement croissante.
b) Montre que l'équation $f(x) = 0$ a une unique solution $\alpha$ et que $2 < \alpha < 3$ .
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4
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{x} - 3x$ .
a) Étudie les variations de $f$ .
b) Montre que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions.
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5
Soit $f$ définie sur $[0 \,;\, 4]$ par $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x - 2$ .
a) Étudie les variations de $f$ sur cet intervalle.
b) Combien l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle de solutions sur $[0 \,;\, 4]$ ?
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6
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{3} + x - 12$ .
a) Montre que l'équation $f(x) = 0$ a une unique solution $\alpha$ .
b) Donne un encadrement de $\alpha$ à $0{,}1$ près.
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7
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{5} + x + 3$ .
a) Montre qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$ .
b) Prouve que $-2 < \alpha < -1$ .
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8
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{3} - 5x + 1$ .
a) Montre que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[0 \,;\, 1]$ .
b) Donne un encadrement de cette solution d'amplitude 0,25 par dichotomie.
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9
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{3} + 4x - 7$ .
a) Calcule $f'(x)$ , étudie son signe et conclus sur les variations de $f$ .
b) Montre que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ , et que $1 < \alpha < 2$ .
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10
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 5$ .
a) Étudie les variations de $f$ .
b) Combien l'équation $f(x) = 0$ admet-elle de solutions dans $\mathbb{R}$ ?
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