Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

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1
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{3} - 5x + 1$ .
a) Montre que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[0 \,;\, 1]$ .
b) Donne un encadrement de cette solution d'amplitude 0,25 par dichotomie.
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a) $f$ est un polynôme : elle est continue sur $\mathbb{R}$ , donc sur $[0 \,;\, 1]$ .
$f(0) = 1 > 0$ et $f(1) = 1 - 5 + 1 = -3 < 0$ .
Les images changent de signe : 0 est compris entre $f(1)$ et $f(0)$ .
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet au moins une solution dans $[0 \,;\, 1]$ .

b) $f(0{,}5) = 0{,}125 - 2{,}5 + 1 = -1{,}375 < 0$ : la solution est dans $[0 \,;\, 0{,}5]$ .
$f(0{,}25) = 0{,}0156 - 1{,}25 + 1 = -0{,}234 < 0$ : la solution est dans $[0 \,;\, 0{,}25]$ .
L'encadrement $0 < \alpha < 0{,}25$ a bien une amplitude de 0,25.
2
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{3} + 4x - 7$ .
a) Calcule $f'(x)$ , étudie son signe et conclus sur les variations de $f$ .
b) Montre que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ , et que $1 < \alpha < 2$ .
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a) $f'(x) = 3x^{2} + 4$ .
Un carré est positif, donc $3x^{2} + 4 \ge 4 > 0$ pour tout réel.
$f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

b) $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
Ses limites sont $-\infty$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$ .
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ a une unique solution.
$f(1) = 1 + 4 - 7 = -2 < 0$ et $f(2) = 8 + 8 - 7 = 9 > 0$ .
La stricte croissance donne donc $1 < \alpha < 2$ .
3
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{5} + x + 3$ .
a) Montre qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$ .
b) Prouve que $-2 < \alpha < -1$ .
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4
Soit $f$ définie sur $[0 \,;\, 4]$ par $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x - 2$ .
a) Étudie les variations de $f$ sur cet intervalle.
b) Combien l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle de solutions sur $[0 \,;\, 4]$ ?
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5
Soit $f$ définie sur $]0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \ln x + x - 3$ .
a) Montre que $f$ est strictement croissante.
b) Montre que l'équation $f(x) = 0$ a une unique solution $\alpha$ et que $2 < \alpha < 3$ .
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6
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{x} - 3x$ .
a) Étudie les variations de $f$ .
b) Montre que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions.
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7
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{3} + x - 12$ .
a) Montre que l'équation $f(x) = 0$ a une unique solution $\alpha$ .
b) Donne un encadrement de $\alpha$ à $0{,}1$ près.
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8
Soit $f$ définie sur $[0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x} - x + 2$ .
a) Étudie les variations de $f$ sur $]0 \,;\, +\infty[$ .
b) Montre que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[1 \,;\, +\infty[$ .
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9
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 5$ .
a) Étudie les variations de $f$ .
b) Combien l'équation $f(x) = 0$ admet-elle de solutions dans $\mathbb{R}$ ?
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10
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{2} + 4$ .
a) L'équation $f(x) = 0$ admet-elle une solution ? Justifie.
b) Pourquoi le théorème des valeurs intermédiaires ne permet-il pas de conclure autrement ?
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