Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³ − 6x + 2. a) Montre que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [0 ; 1]. b) À l'aide de deux étapes de dichotomie, donne un encadrement de cette solution d'amplitude 0,25.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x³ + 3x − 5. a) Calcule f '(x) et étudie son signe. b) Montre que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans ℝ. c) Justifie que 1 < α < 2.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x⁵ + x + 1. Montre qu'il existe un unique réel α tel que f(α) = 0, puis prouve que −1 < α < 0.

Une fonction f est continue sur [−2 ; 3]. Son tableau de variations indique : f(−2) = 4 ; f décroît jusqu'au minimum f(1) = −2 ; puis f croît jusqu'à f(3) = 5. Combien l'équation f(x) = 0 admet-elle de solutions sur [−2 ; 3] ? Justifie.

On veut encadrer √2, qui est la solution positive de l'équation x² − 2 = 0. On pose f(x) = x² − 2. a) Vérifie que la solution est dans [1 ; 2]. b) Effectue deux étapes de dichotomie pour resserrer l'encadrement.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x + eˣ. Montre que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α, puis prouve que −1 < α < 0.

Une fonction f est continue et strictement décroissante sur [2 ; 8], avec f(2) = 10 et f(8) = −4. Justifie soigneusement que l'équation f(x) = 3 admet une unique solution sur [2 ; 8].

Soit f la fonction définie par : f(x) = x² si x ≤ 1, et f(x) = x + 1 si x > 1. La fonction f est-elle continue en 1 ? Justifie par le calcul des limites.

Montre que l'équation cos(x) = x admet au moins une solution dans l'intervalle [0 ; $\frac{\pi }{2}$].

On étudie l'équation f(x) = 0 avec f(x) = x³ + x − 3, continue sur ℝ. On donne f(1) = −1 et f(1,5) = 1,875. a) Justifie qu'il existe une solution dans [1 ; 1,5]. b) Effectue une étape de dichotomie pour préciser l'encadrement.