Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

🟡 Moyen

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1
Montre que l'équation $\cos (x) = x$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0 \,;\, \frac{\pi }{2}]$ .
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On ramène l'équation à une seule fonction. Posons $g(x) = \cos (x) - x$ .
Résoudre $\cos (x) = x$ revient à résoudre $g(x) = 0$ .
g est continue sur $[0 \,;\, \frac{\pi }{2}]$ (différence de fonctions continues : cos et x ↦ x).
$g(0) = \cos (0) - 0 = 1 - 0 = 1 > 0$ .
$g(\frac{\pi }{2}) = \cos (\frac{\pi }{2}) - \frac{\pi }{2} = 0 - \frac{\pi }{2} = -\frac{\pi }{2} \approx -1{,}57 < 0$ .
g(0) et $g(\frac{\pi }{2})$ sont de signes contraires. D'après le TVI, il existe c dans $[0 \,;\, \frac{\pi }{2}]$ tel que $g(c) = 0$ , c'est-à-dire $\cos (c) = c$ .
L'équation admet donc au moins une solution dans cet intervalle.
2
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x + e^{x}$ . Montre que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution α, puis prouve que $-1 < \alpha < 0$ .
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Monotonie : f ' $(x) = 1 + e^{x}$ .
Comme $e^{x} > 0$ pour tout x, on a f ' $(x) > 1 > 0$ : f est strictement croissante sur ℝ.
Existence et unicité : f est continue (somme de fonctions continues), strictement croissante, avec limite $-\infty$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$ .
0 étant compris entre ces limites, le corollaire du TVI donne une unique solution α telle que $f(\alpha ) = 0$ .
Encadrement : $f(-1) = -1 + e^{-1} \approx -1 + 0{,}37 = -0{,}63 < 0$ .
$f(0) = 0 + e^{0} = 0 + 1 = 1 > 0$ .
0 est compris entre $f(-1)$ et f(0), et f est strictement croissante : donc $-1 < \alpha < 0$ .
3
Soit f la fonction définie par : $f(x) = x^{2}$ si $x \le 1$ , et $f(x) = x + 1$ si $x > 1$ . La fonction f est-elle continue en 1 ? Justifie par le calcul des limites.
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4
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{5} + x + 1$ . Montre qu'il existe un unique réel α tel que $f(\alpha ) = 0$ , puis prouve que $-1 < \alpha < 0$ .
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5
Une fonction f est continue et strictement décroissante sur $[2 \,;\, 8]$ , avec $f(2) = 10$ et $f(8) = -4$ . Justifie soigneusement que l'équation $f(x) = 3$ admet une unique solution sur $[2 \,;\, 8]$ .
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6
Une fonction f est continue sur $[-2 \,;\, 3]$ . Son tableau de variations indique : $f(-2) = 4$ ; f décroît jusqu'au minimum $f(1) = -2$ ; puis f croît jusqu'à $f(3) = 5$ . Combien l'équation $f(x) = 0$ admet-elle de solutions sur $[-2 \,;\, 3]$ ? Justifie.
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7
On veut encadrer $\sqrt{2}$ , qui est la solution positive de l'équation $x^{2} - 2 = 0$ . On pose $f(x) = x^{2} - 2$ .
a) Vérifie que la solution est dans $[1 \,;\, 2]$ .
b) Effectue deux étapes de dichotomie pour resserrer l'encadrement.
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8
On étudie l'équation $f(x) = 0$ avec $f(x) = x^{3} + x - 3$ , continue sur ℝ. On donne $f(1) = -1$ et $f(1{,}5) = 1{,}875$ .
a) Justifie qu'il existe une solution dans $[1 \,;\, 1{,}5]$ .
b) Effectue une étape de dichotomie pour préciser l'encadrement.
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9
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{3} + 3x - 5$ .
a) Calcule f '(x) et étudie son signe.
b) Montre que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution α dans ℝ.
c) Justifie que $1 < \alpha < 2$ .
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10
Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = x^{3} - 6x + 2$ .
a) Montre que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[0 \,;\, 1]$ .
b) À l'aide de deux étapes de dichotomie, donne un encadrement de cette solution d'amplitude 0,25.
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