Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
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La fonction f définie par f(x) = 3x² − 5x + 2 est-elle continue sur ℝ ? Justifie ta réponse.
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f est une fonction polynôme (du second degré).
Or, une propriété du cours affirme que toute fonction polynôme est continue sur ℝ tout entier.
Donc f est continue sur ℝ.
Remarque : on n'a même pas besoin de calculer de limite, il suffit de reconnaître la nature de la fonction. - 2
Justifie que la fonction g définie par g(x) = √x + x est continue sur [0 ; +∞[.
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On décompose g en une somme de deux fonctions.
• La fonction racine carrée x ↦ √x est continue sur [0 ; +∞[ (fonction de référence).
• La fonction x ↦ x est une fonction polynôme, donc continue sur ℝ, en particulier sur [0 ; +∞[.
Or la somme de deux fonctions continues est continue.
Donc g = √x + x est continue sur [0 ; +∞[. - 3
Sur quel ensemble la fonction h définie par h(x) = est-elle continue ?
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Une fonction f est continue sur l'intervalle [1 ; 5]. On sait que f(1) = −3 et f(5) = 7. Montre que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [1 ; 5].
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La fonction partie entière x ↦ ⌊x⌋ est-elle continue en 3 ? (On rappelle que ⌊2,9⌋ = 2 et ⌊3⌋ = 3.)
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Réponds à ces deux questions de cours. a) Toute fonction dérivable sur un intervalle est-elle continue sur cet intervalle ? b) La réciproque est-elle vraie ? Donne un exemple pour justifier.
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Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x³ + x − 1. a) Calcule f(0) et f(1). b) Déduis-en que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [0 ; 1].
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Justifie que la fonction exponentielle x ↦ eˣ est continue sur ℝ, et que la fonction logarithme népérien x ↦ ln(x) est continue sur ]0 ; +∞[.
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Une fonction f est continue et strictement croissante sur [0 ; 2], avec f(0) = 1 et f(2) = 9. Combien de solutions l'équation f(x) = 5 admet-elle sur [0 ; 2] ? Justifie.
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On considère la fonction f(x) = |x| (valeur absolue). a) Est-elle continue en 0 ? b) Est-elle dérivable en 0 ? Justifie chaque réponse.
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