Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Justifie que la fonction exponentielle x ↦ eˣ est continue sur ℝ, et que la fonction logarithme népérien x ↦ ln(x) est continue sur $]0 \,;\, +\infty [$.

Sur quel ensemble la fonction h définie par $h(x) = \frac{1}{(x - 4)}$ est-elle continue ?

Justifie que la fonction g définie par $g(x) = \sqrt{x} + x$ est continue sur $[0 \,;\, +\infty [$.

La fonction f définie par $f(x) = 3x^{2} - 5x + 2$ est-elle continue sur ℝ ? Justifie ta réponse.

Réponds à ces deux questions de cours.
a) Toute fonction dérivable sur un intervalle est-elle continue sur cet intervalle ?
b) La réciproque est-elle vraie ? Donne un exemple pour justifier.

La fonction partie entière x ↦ ⌊x⌋ est-elle continue en 3 ? (On rappelle que ⌊2,9⌋ $= 2$ et ⌊3⌋ $= 3$.)

On considère la fonction $f(x) = |x|$ (valeur absolue).
a) Est-elle continue en 0 ?
b) Est-elle dérivable en 0 ? Justifie chaque réponse.

Une fonction f est continue et strictement croissante sur $[0 \,;\, 2]$, avec $f(0) = 1$ et $f(2) = 9$. Combien de solutions l'équation $f(x) = 5$ admet-elle sur $[0 \,;\, 2]$ ? Justifie.

Une fonction f est continue sur l'intervalle $[1 \,;\, 5]$. On sait que $f(1) = -3$ et $f(5) = 7$. Montre que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[1 \,;\, 5]$.

Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = x^{3} + x - 1$.
a) Calcule f(0) et f(1).
b) Déduis-en que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[0 \,;\, 1]$.