Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

On considère la fonction f définie pour $x \ne 3$ par $f(x) = \frac{(x^{2} - 9)}{(x - 3)}$, et par $f(3) = a$, où a est un réel à déterminer.
Détermine la valeur de a pour laquelle f est continue en 3.

Soit f une fonction continue sur $[0 \,;\, 1]$ telle que, pour tout x de $[0 \,;\, 1]$, f(x) appartient aussi à $[0 \,;\, 1]$. On veut montrer qu'il existe un réel c de $[0 \,;\, 1]$ tel que $f(c) = c$ (un « point fixe »).
Montre que f admet un point fixe.

On définit la suite ($u_n$) par $u_{0} = 0$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_{n} + 3$. On pose $f(x) = \frac{1}{2}x + 3$.
Calcule ℓ.

Soit f définie sur ℝ par $f(x) = e^{x} + x - 2$.
Montre que $0 < \alpha < 1$, puis donne un encadrement de α d'amplitude 0,5 par une étape de dichotomie.

On pose $g(x) = x^{3} - 3x$ pour x réel, et on s'intéresse, selon la valeur du paramètre réel m, au nombre de solutions de l'équation $g(x) = m$.
Selon les valeurs de m, combien l'équation $x^{3} - 3x = m$ a-t-elle de solutions ?

Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{4} - 4x + 1$.
Donne un encadrement d'amplitude 1 pour chacune des solutions.

Soit f définie sur $[0 \,;\, 4]$ par $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1$.
Combien l'équation $f(x) = 3$ admet-elle de solutions sur $[0 \,;\, 4]$ ? Justifie à l'aide du TVI.

On définit la suite ($u_n$) par $u_{0} = 0$ et, pour tout entier n, $u_{n+1} = \sqrt{u_{n} + 2}$. On pose $f(x) = \sqrt{x + 2}$.
Résous l'équation ℓ $= \sqrt{\ell + 2}$ et détermine la valeur de la limite ℓ.

Soit f définie sur ℝ par $f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 5$.
Donne pour chacune un encadrement entier d'amplitude 1.

On considère la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1$.
On appelle β la plus grande solution de $f(x) = 0$. Montre que β est dans $]2 \,;\, 3[$, puis donne, par dichotomie, un encadrement de β d'amplitude 0,25.