Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x² + 1. a) Calcule f '(x), étudie son signe et donne le sens de variation avec les limites en −∞ et +∞. b) Détermine le nombre exact de solutions de l'équation f(x) = 0. c) On appelle β la plus grande de ces solutions. Montre que β est dans ]2 ; 3[, puis, par dichotomie, donne un encadrement de β d'amplitude 0,25.

On définit la suite (uₙ) par u₀ = 0 et, pour tout entier n, uₙ₊₁ = √(uₙ + 2). On pose f(x) = √(x + 2). a) Justifie que f est continue sur [0 ; +∞[. b) On admet que la suite (uₙ) converge vers une limite ℓ ≥ 0. En utilisant la continuité de f, explique pourquoi ℓ vérifie ℓ = f(ℓ). c) Résous l'équation ℓ = √(ℓ + 2) et détermine la valeur de la limite ℓ.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = eˣ + x − 2. a) Étudie les variations de f (avec les limites en −∞ et +∞). b) Montre que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α. c) Montre que 0 < α < 1, puis donne un encadrement de α d'amplitude 0,5 par une étape de dichotomie.

On pose g(x) = x³ − 3x pour x réel, et on s'intéresse, selon la valeur du paramètre réel m, au nombre de solutions de l'équation g(x) = m. a) Étudie les variations de g et donne les extremums locaux ainsi que les limites. b) Discute, selon m, le nombre de solutions de l'équation x³ − 3x = m.

Soit f une fonction continue sur [0 ; 1] telle que, pour tout x de [0 ; 1], f(x) appartient aussi à [0 ; 1]. On veut montrer qu'il existe un réel c de [0 ; 1] tel que f(c) = c (un « point fixe »). a) On pose g(x) = f(x) − x. Justifie que g est continue sur [0 ; 1]. b) Détermine le signe de g(0) et de g(1). c) Conclus à l'existence d'un point fixe.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x⁴ − 4x + 1. a) Calcule f '(x) et détermine le sens de variation de f (avec les limites). b) Détermine le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0. c) Donne un encadrement d'amplitude 1 pour chacune des solutions.

On définit la suite (uₙ) par u₀ = 0 et uₙ₊₁ = $\frac{1}{2}$uₙ + 3. On pose f(x) = $\frac{1}{2}$x + 3. a) Justifie que f est continue sur ℝ. b) On admet que (uₙ) converge vers une limite ℓ. Explique pourquoi ℓ = f(ℓ). c) Calcule ℓ.

On considère la fonction f définie pour x ≠ 3 par f(x) = $\frac{(x^{2} - 9)}{(x - 3)}$, et par f(3) = a, où a est un réel à déterminer. a) Simplifie l'expression de f(x) pour x ≠ 3. b) Calcule la limite de f(x) quand x tend vers 3. c) Détermine la valeur de a pour laquelle f est continue en 3.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 5. a) Calcule f '(x), étudie son signe et donne les extremums locaux ainsi que les limites. b) Montre que l'équation f(x) = 0 admet exactement trois solutions. c) Donne pour chacune un encadrement entier d'amplitude 1.

Soit f définie sur [0 ; 4] par f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. a) Calcule f '(x) et donne le sens de variation de f sur [0 ; 4]. b) Détermine le maximum et le minimum de f sur [0 ; 4]. c) Combien l'équation f(x) = 3 admet-elle de solutions sur [0 ; 4] ? Justifie à l'aide du TVI.