Combinatoire et dénombrement

🟠 Difficile

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1
Un club compte 10 membres.
a) Combien de comités de 3 personnes peut-on former ?
b) Combien de bureaux composés d'un président, d'un trésorier et d'un secrétaire peut-on former ?
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a) Dans un comité, les rôles ne sont pas distingués : l'ordre ne compte pas.
C'est une combinaison : $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .

b) Ici les trois rôles sont différents : l'ordre compte.
C'est un arrangement : $10 \times 9 \times 8 = 720$ .
On retrouve $720 = 120 \times 3!$ : chaque comité de 3 donne $3! = 6$ bureaux distincts.
2
On forme des mots (ayant un sens ou non) avec les lettres du mot LIVRE.
a) Combien d'anagrammes peut-on former en utilisant les 5 lettres ?
b) Combien commencent par une voyelle ?
✅ Voir le corrigéoffert
a) Les 5 lettres L, I, V, R, E sont toutes distinctes.
Nombre d'anagrammes : $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ .

b) Les voyelles sont I et E : 2 choix pour la première lettre.
Les 4 lettres restantes se placent librement : $4! = 24$ façons.
Total : $2 \times 24 = 48$ anagrammes.
3
Une urne contient 7 boules blanches et 5 boules noires. On en tire 4 simultanément.
a) Combien de tirages différents sont possibles ?
b) Combien de tirages contiennent exactement 2 boules blanches ?
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4
Un code d'accès comporte 4 chiffres choisis parmi 0, 1, …, 9.
a) Combien de codes existe-t-il si les chiffres peuvent se répéter ?
b) Combien en existe-t-il si tous les chiffres doivent être différents ?
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5
Dans une classe de 6 filles et 8 garçons, on forme une délégation de 4 élèves.
a) Combien de délégations comptent exactement 2 filles et 2 garçons ?
b) Combien comptent au moins une fille ?
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6
On lance 5 fois de suite une pièce équilibrée et on note la suite des résultats.
a) Combien de suites différentes peut-on obtenir ?
b) Combien contiennent exactement 3 « pile » ?
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7
Un restaurant propose 4 entrées, 6 plats et 3 desserts.
a) Combien de menus complets (entrée, plat, dessert) peut-on composer ?
b) Combien de repas peut-on composer si l'on prend un plat et exactement UN des deux autres services ?
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8
On considère les nombres $\binom{9}{4}$ et $\binom{9}{5}$ .
a) Calcule-les.
b) Que remarques-tu ? Explique cette égalité sans calcul.
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9
Une classe compte 24 élèves.
a) Combien de délégations de 2 élèves peut-on former ?
b) Combien de duos « délégué + suppléant » peut-on former ?
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10
Un code est formé de 4 chiffres choisis parmi 0 à 9.
a) Combien de codes peut-on former si les chiffres peuvent se répéter ?
b) Combien si tous les chiffres doivent être différents ?
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