Combinatoire et dénombrement
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Un club compte 12 membres : 7 femmes et 5 hommes. On forme un comité de 4 personnes (sans distinction de rôle).
a) Combien de comités différents peut-on former ?
b) Combien de comités comptent exactement 2 femmes et 2 hommes ?
c) Combien de comités comptent au moins un homme ?✅ Voir le corrigéoffert
a) Un comité est un choix de 4 personnes parmi 12, sans ordre : C(12, 4).
C(12, 4) = = = 495.
Il y a 495 comités possibles.
b) On choisit 2 femmes parmi 7 ET 2 hommes parmi 5 (choix indépendants).
C(7, 2) = = 21.
C(5, 2) = = 10.
Principe multiplicatif : 21 × 10 = 210.
Il y a 210 comités mixtes (2 femmes, 2 hommes).
c) « Au moins un homme » est l'opposé de « aucun homme » (donc 4 femmes). Il est plus rapide de passer par le complémentaire.
Comités sans aucun homme : on choisit 4 femmes parmi 7, soit C(7, 4) = = = 35.
Comités avec au moins un homme = total − (aucun homme) = 495 − 35 = 460.
Il y a 460 comités comptant au moins un homme. - 2
On s'intéresse aux anagrammes (suites de lettres, avec ou sans sens) formées avec toutes les lettres du mot ANANAS. Ce mot contient 3 fois la lettre A, 2 fois la lettre N et 1 fois la lettre S.
a) Combien d'anagrammes distinctes peut-on former ?
b) Combien commencent par la lettre S ?
c) Combien ont les trois lettres A placées côte à côte (bloc AAA) ?✅ Voir le corrigéoffert
a) Si les 6 lettres étaient toutes distinctes, il y aurait 6! rangements. Mais les 3 A sont identiques entre eux (on ne distingue pas leurs permutations, soit 3! répétitions) et les 2 N aussi (2! répétitions).
Nombre d'anagrammes distinctes = = = = 60.
Il y a 60 anagrammes distinctes.
b) Si la 1ʳᵉ lettre est imposée S, il reste à placer les 5 lettres A, A, A, N, N sur les 5 positions restantes.
Nombre de rangements = = = 10.
Il y a 10 anagrammes commençant par S.
c) On regroupe les trois A en un seul bloc [AAA]. On doit alors ranger 4 objets : le bloc [AAA], N, N et S.
Les 2 N sont identiques, donc le nombre de rangements est = = 12.
Il y a 12 anagrammes où les trois A sont côte à côte. - 3
On tire une main de 5 cartes dans un jeu de 32 cartes (qui contient 4 rois). L'ordre n'a pas d'importance.
a) Combien de mains de 5 cartes existe-t-il ?
b) Combien de mains contiennent exactement 2 rois ?
c) Combien de mains contiennent au moins un roi ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
Sur un quadrillage, un pion part du point A (en bas à gauche) et doit rejoindre le point B situé 5 pas à droite et 4 pas vers le haut. Il ne peut avancer que d'un pas vers la droite (D) ou d'un pas vers le haut (H). On note M le point atteint après 3 pas à droite et 2 pas vers le haut depuis A.
a) Combien de chemins mènent de A à B ?
b) Combien de ces chemins passent par le point M ?
c) Combien de chemins évitent le point M ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
On considère les « mots » de 8 lettres formés uniquement des lettres A et B (par exemple AABABBAB).
a) Combien de tels mots existe-t-il ?
b) Combien contiennent exactement 3 lettres A ?
c) Combien contiennent au moins 6 lettres A ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
Une urne contient 5 boules rouges, 4 boules vertes et 3 boules bleues, toutes discernables (12 boules au total). On tire simultanément 4 boules (sans ordre).
a) Combien de tirages différents peut-on obtenir ?
b) Combien de tirages contiennent exactement 2 boules rouges ?
c) Combien de tirages contiennent au moins une boule de chaque couleur ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
On s'intéresse aux nombres entiers à 5 chiffres, c'est-à-dire de 10000 à 99999.
a) Combien y a-t-il de nombres à 5 chiffres ?
b) Combien ont leurs 5 chiffres tous différents ?
c) Combien sont des palindromes, c'est-à-dire qui se lisent de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche (forme abcba) ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
Une équipe compte 8 personnes. On veut d'abord désigner un bureau de 3 postes distincts : un président, un secrétaire et un trésorier (une même personne ne peut occuper deux postes). Ensuite, parmi les 5 personnes restantes, on choisit un comité de 2 membres (sans distinction de rôle).
a) De combien de façons peut-on désigner le président, le secrétaire et le trésorier ?
b) Une fois le bureau désigné, de combien de façons choisit-on le comité de 2 membres ?
c) Combien de compositions complètes (bureau + comité) sont possibles au total ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
On étudie quelques propriétés des coefficients binomiaux (triangle de Pascal).
a) Calculer C(10, 3) et C(10, 7). Que remarque-t-on, et pourquoi ?
b) Vérifier par le calcul la relation de Pascal : C(10, 4) = C(9, 3) + C(9, 4).
c) Calculer la somme C(6, 0) + C(6, 1) + C(6, 2) + C(6, 3) + C(6, 4) + C(6, 5) + C(6, 6) et interpréter le résultat.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
Un sac contient 10 jetons numérotés de 1 à 10. On tire au hasard 3 jetons simultanément (sans ordre).
a) Combien de tirages de 3 jetons peut-on obtenir ?
b) Combien de tirages ont une somme des trois numéros paire ?
c) Combien de tirages contiennent au moins un jeton dont le numéro est un multiple de 3 ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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