Combinatoire et dénombrement

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1
On s'intéresse aux anagrammes (suites de lettres, avec ou sans sens) formées avec toutes les lettres du mot ANANAS. Ce mot contient 3 fois la lettre A, 2 fois la lettre N et 1 fois la lettre S.
Combien ont les trois lettres A placées côte à côte (bloc AAA) ?
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a) Si les 6 lettres étaient toutes distinctes, il y aurait 6! rangements. Mais les 3 A sont identiques entre eux (on ne distingue pas leurs permutations, soit 3! répétitions) et les 2 N aussi (2! répétitions).
Nombre d'anagrammes distinctes $= \frac{6! }{ (3! \times 2!)} = \frac{720 }{ (6 \times 2)} = \frac{720 }{ 12} = 60$ .
Il y a 60 anagrammes distinctes.

b) Si la 1ʳᵉ lettre est imposée S, il reste à placer les 5 lettres A, A, A, N, N sur les 5 positions restantes.
Nombre de rangements $= \frac{5! }{ (3! \times 2!)} = \frac{120 }{ 12} = 10$ .
Il y a 10 anagrammes commençant par S.

c) On regroupe les trois A en un seul bloc [AAA]. On doit alors ranger 4 objets : le bloc [AAA], N, N et S.
Les 2 N sont identiques, donc le nombre de rangements est $\frac{4! }{ 2!} = \frac{24 }{ 2} = 12$ .
Il y a 12 anagrammes où les trois A sont côte à côte.
2
Une équipe compte 8 personnes. On veut d'abord désigner un bureau de 3 postes distincts : un président, un secrétaire et un trésorier (une même personne ne peut occuper deux postes). Ensuite, parmi les 5 personnes restantes, on choisit un comité de 2 membres (sans distinction de rôle).
Combien de compositions complètes (bureau + comité) sont possibles au total ?
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a) Trois postes distincts : l'ordre compte (arrangement de 3 personnes parmi 8).
Président : 8 choix. Secrétaire : 7 choix restants. Trésorier : 6 choix restants.
Principe multiplicatif : $8 \times 7 \times 6 = 336$ .
Il y a 336 façons de désigner le bureau.

b) Le comité est un choix de 2 personnes parmi les 5 restantes, sans distinction de rôle : combinaison.
$C(5, 2) = \frac{5 \times 4 }{ 2} = 10$ .
Il y a 10 comités possibles pour un bureau donné.

c) On combine le choix du bureau et celui du comité (choix successifs) : principe multiplicatif.
$\text{Total} = 336 \times 10 = 3360$ .
Il y a 3360 compositions complètes possibles.
3
On considère les « mots » de 8 lettres formés uniquement des lettres A et B (par exemple AABABBAB).
Combien contiennent au moins 6 lettres A ?
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4
Sur un quadrillage, un pion part du point A (en bas à gauche) et doit rejoindre le point B situé 5 pas à droite et 4 pas vers le haut. Il ne peut avancer que d'un pas vers la droite (D) ou d'un pas vers le haut (H). On note M le point atteint après 3 pas à droite et 2 pas vers le haut depuis A.
Combien de chemins évitent le point M ?
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5
On tire une main de 5 cartes dans un jeu de 32 cartes (qui contient 4 rois). L'ordre n'a pas d'importance.
Combien de mains contiennent au moins un roi ?
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6
Un club compte 12 membres : 7 femmes et 5 hommes. On forme un comité de 4 personnes (sans distinction de rôle).
Combien de comités comptent au moins un homme ?
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7
Un sac contient 10 jetons numérotés de 1 à 10. On tire au hasard 3 jetons simultanément (sans ordre).
Combien de tirages contiennent au moins un jeton dont le numéro est un multiple de 3 ?
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8
Une urne contient 5 boules rouges, 4 boules vertes et 3 boules bleues, toutes discernables (12 boules au total). On tire simultanément 4 boules (sans ordre).
Combien de tirages contiennent au moins une boule de chaque couleur ?
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9
On étudie quelques propriétés des coefficients binomiaux (triangle de Pascal).
Calculer la somme $C(6, 0) + C(6, 1) + C(6, 2) + C(6, 3) + C(6, 4) + C(6, 5) + C(6, 6)$ et interpréter le résultat.
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10
On s'intéresse aux nombres entiers à 5 chiffres, c'est-à-dire de 10000 à 99999.
Combien sont des palindromes, c'est-à-dire qui se lisent de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche (forme abcba) ?
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